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単振動 〜等速円運動の射影〜
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:Author: tomo et al.@物理のかぎプロジェクト
:Date: 2005-07-04
単振動 [*]_ は，物理学のいろいろな場面で登場する重要な運動です．ばねの運動で登場したり，
振り子の運動で登場したり，はたまた電気振動なんていうものもあります．
以下では，等速円運動の射影として単振動を紹介し，速度や加速度についてもみていきます． 等速円運動_ についてまだ学習していない人は，そちらからご覧下さい．
.. [*]
「単振動」という表現の他に，「調和振動」という表現もよく使います．「単振動」と「（1次元）調和振動」は同じものを指します．また，「調和振動子」と言った場合には，振動しているもの（振動の性質をもつもの）を指します．
単振動は等速円運動の射影だ
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半径 $A$ の円周上を運動する 等速円運動_ を考えます．分かりやすいように， $x-y$ 平面状に原点を中心とする
半径 $A$ の円を描いておきます．物体は時刻 $t=0$ のとき点 $(A, 0)$ を出発して，角速度 $\omega$ で運動します．
.. image:: tomo-shm-fig1.png
この等速円運動について， $y$ 軸への射影を考えてみましょう．時間を追って図を描くと，以下のようになります（ $T$ は周期）．
- $t=\frac{1}{4}T$
.. image:: tomo-shm-fig2.png
- $t=\frac{1}{2}T$
.. image:: tomo-shm-fig3.png
- $t=\frac{3}{4}T$
.. image:: tomo-shm-fig4.png
- $t=T$
.. image:: tomo-shm-fig5.png
この $y$ 軸への射影こそが，単振動だというわけです．
変位はどのように表されるか
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変位 $y$ がどのように表されるか，考えてみましょう．時刻 $t=0$ のとき
点 $(A, 0)$ を出発して，角速度 $\omega$ で運動した場合， $t[{\rm s}]$ 後には以下のようになっているはずです．
.. image:: tomo-shm-fig6.png
つまり，変位 $y$ は，
y=A\sin \omega t
と表されることになります． $A$ のことを「振幅」， $\sin $ の中身（ここでは $\omega t$ ）のことを「位相」と呼びます．
速度と加速度はどのように表されるか
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単振動の速度 $v_y$ と単振動の加速度 $a_y$ はどのようになっているでしょうか．
図で示すと以下のようになります．速度 $v$ ，加速度 $a$ を，変位と同様に $y$ 軸に射影します．
.. image:: tomo-shm-fig7.png
$v=A\omega$ を $y$ 軸に射影して，
v_y=r\omega \cos \omega t
$a=A\omega ^2$ を $y$ 軸に射影して，
a_y=-r\omega ^2 \sin \omega t
となります．また，位相の部分を $\omega =\frac{2\pi}{T}$ （説明は 等速円運動_ を参照）を用いて，
y=A\sin \frac{2\pi}{T}t
v_y=A\omega \cos \frac{2\pi}{T}t
a_y=-A\omega ^2 \sin \frac{2\pi}{T}t
と書き換えることができます． $y$ ， $v_y$ ， $a_y$ を並べてグラフに描くと以下のようになります．
.. image:: tomo-shm-fig8.png
補足
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高等学校の物理では微積分が出てきませんが，
v_y=\frac{dy}{dt}
a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}
という関係が成り立っています．
.. _等速円運動: ../circularMotion/index.html