Ploblem1.
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<tex>
\bm{v} = \bm{\omega} \times \bm{x} + \dot{r} \frac{\bm{x}}{r} \tag{16}
</tex>
前問で確かめた式 $\tag{16}$ を ベクトルの回転_ の無限小回転を参考に成り立つ事を示してください。これではあまりにも不親切なので、ヒントも書いておきます。

（ヒント）

「ベクトルの回転」の"無限小回転"の $\tag{3}$ の法線ベクトル $\bm{n}$ は、今回の場合、常に角速度ベクトルと同じ向きを向く単位ベクトル
に等しくなります。つまり次のように書くことができるということです。
<tex>
\bm{n} = \frac{\bm{\omega}}{|\bm{\omega}|} \tag{17}
</tex>
すると位置ベクトルが動径方向に移動しないとし、 $\bm{n}$ を回転軸とする回転角を $\psi$ と書くとします。
すると"無限小回転"の $\tag{3}$ より、位置の微小変位は次のように書けます。
<tex>
d \bm{x} = (\bm{\omega} \times \bm{x}) \frac{d \psi }{|\bm{\omega}|} \tag{18}
</tex>
更に動径方向へも移動する一般の場合を考えます。すると位置の微小変化は動径方向への微小変位も加わり、次のようになります。
<tex>
d \bm{x} &= (\bm{\omega} \times \bm{x}) \frac{d \psi}{|\bm{\omega}|} + dr \frac{\bm{x}}{r} \tag{19}
</tex>
次にこれが微小時間 $dt$ の間に運動がなされたとしますと
<tex>
\dot{\bm{x}} = (\bm{\omega} \times \bm{x}) \frac{\dot{\psi}}{|\bm{\omega}|} + \dot{r} \frac{\bm{x}}{r} \tag{20}
</tex>
が成り立つことを示されます。最後に $\tag{20}$ 中の ${\dot{\psi}}$ が角速度の大きさ ${|\bm{\omega}|}$ に等しいことを示してください。
つまり次の式を示せばいいのです。
<tex>
|\bm{\omega}| = \dot{\psi} \tag{21}
</tex>
これは本文中の角速度 $\bm{\omega}$ の定義と ${\psi}$ の定義を比較することによって説明する事ができると思います。数式を使う必要はありません。
ここまでできますと、 $\tag{20}$ に $\tag{21}$ を代入することによって $\tag{16}$ 式が成り立つ事が示されます。以上の手順に従って計算をすれば、
この問題は解けると思います。

.. _ベクトルの回転 : http://hooktail.org/wiki/index.php?%BA%BA%C6%C9%2F%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%A4%CE%B2%F3%C5%BE%28Joh%C3%F8%29