=================================== 偏微分の計算方法 =================================== 任意の関数を偏微分しようと思ったら、関数の形だけ微分の公式を見つけなければなりません。 その公式を見つける際に、もとの関数を合成関数として見る方法があります。 そうすることで関数の偏微分するという問題は、合成関数の偏微分の問題に変わります。 この方法の利点は、ごく限られた微分の公式を覚えているだけで、多くの偏微分の公式を見つけることが可能になるのです。 ここでは、掲示板でよせられた質問についてのみ考えていきます。一般的な議論についてはここでは扱いませんので、あらかじめ ご了承下さい。 質問と解説 -------------------------------- 掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。 質問 ^^^^^^^^^^^ 位置ベクトル ${\bm{r} = x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}$ の動径距離 ${|\bm{r}| = r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ を直交成分 ${x,y,z}$ で偏微分すると、どうして次のようになるのですか。 \frac{\partial r}{\partial \bm{r}} &= \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial }{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial }{\partial z} \bm{e}_{z} \end{pmatrix} r\\ &= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\ &= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{y} + \frac{z}{r} \bm{e}_{z}\\ &= \frac{x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}{r}\\ &= \frac{\bm{r}}{r} \tag{1} 解説 ^^^^^^^^^^^ この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るのが便利です。 &f = f(x,y,z) \tag{2}\\ &r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3} すると偏微分は合成関数の偏微分の公式 \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \tag{4} が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書き込むと、次のようになります。 &f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\ &r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6} これでもう計算の準備が整いました。分からない方もいるかもしれませんので、ここでひとこと説明を加えておきます。 結局、ここで説明している計算の方法としては ${\tag{5}}$ , $\tag{6}$ のように、適当に微分の公式が使えるような 関数のかたちとして見て、それらを $\tag{4}$ 式に代入して計算をおしすすめていこうという方針です。数式で示すと、次の通りです。 &\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\ &\frac{\partial r}{\partial f} = 1/2 f^{1/2 - 1} =1/2 f^{-1/2} =\frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}}\tag{8}\\ &\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9} ただし $\tag{7}$ と $\tag{8}$ で、次の公式の $n=2$ の場合と $n=1/2$ の場合を使っています。( $g:$ 関数) \frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 ) \tag{10} 後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまります。結果だけ書いておくと &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\ &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12} です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $\tag{1}$ が得られる事が示されました。 補足説明 ^^^^^^^^^^ ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。 実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。これらの全微分の具体的なかたちは $\tag{2}$ , $\tag{3}$ より &df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{13}\\ &dr = \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz = \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14} になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代入することによって \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz = \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}dz が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与えた式 $\tag{4}$ が出てくるというわけです。 &\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \\ &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y} \tag{16}\\ &\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z} \tag{17} 重要事項（まとめ） ^^^^^^^^^^^^^^^^^ 関数は何の関数として見るかが、重要なポイントになってくる。 （この考え方は、解析力学の変換理論に通じるものがあります） コラム ^^^^^^^^ このように関数を、ある簡単な関数の合成関数として見る方法を使う事はよくあります。 ここでは具体的な力学系を考える事はしませんでしたが、そのような場合にもよく使われるテクニックです。 これは完全なる計算テクニックというだけでなく、物理学的な考察にも大いに役に立つと思います。 少し言い過ぎかもしれませんが、いわゆる物理量と呼ばれる位置、速度、加速度、角速度、運動量etcについても、 この方法を上手に使った結果にすぎないとも言えるのです。力学を学ぶ初歩の段階では気付きにくいですが、 今回の方法や他の数学的な解析方法を使ってうまい事、力学系を解析していく方向に発展していったものが解析力学です。 早い段階からそういう意識を持って学習にのぞむと、楽しく学ぶ事ができるかもしれません。