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合成関数の微分への利用
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任意の関数を偏微分しようと思ったら、関数の形だけ微分の公式を見つけなければなりません。
その公式を見つける際に、もとの関数を合成関数として見る方法があります。
そうすることで関数の偏微分するという問題は、合成関数の偏微分の問題に変わります。
この方法の利点は、ごく限られた微分の公式を覚えているだけで、多くの偏微分の公式を見つけることが可能になるのです。
ここでは、掲示板でよせられた質問についてのみ考えていきます。一般的な議論についてはここでは扱いませんので、
あらかじめご了承下さい。
質問と解説
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掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。
質問
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位置ベクトル ${\bm{r} = x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}$ の動径距離 ${|\bm{r}| = r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ を直交成分 ${x,y,z}$ で偏微分すると、どうして次のようになるのですか。
\nabla r &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r\\
&= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}
+ \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y}
+ \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\
&= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{y} + \frac{z}{r} \bm{e}_{z}\\
&= \frac{x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}{r}\\
&= \frac{\bm{r}}{r} \tag{1}
解説
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この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るのが便利です。
&f = f(x,y,z) \tag{2}\\
&r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3}
すると偏微分は合成関数の偏微分の公式
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \tag{4}
が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書き込むと、次のようになります。
&f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\
&r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6}
これでもう計算の準備が整いました。ここでひとこと説明を加えておきますと、
結局ここで説明している計算の方法としては ${\tag{5}}$ , $\tag{6}$ のように、適当に微分の公式が使えるような
関数のかたちとして見て、それらを $\tag{4}$ 式に代入して計算をおしすすめていこうという方針です。数式で示すと、次の通りです。
&\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\
&\frac{\partial r}{\partial f} = \frac{1}{2} f^{\frac{1}{2} - 1} =\frac{1}{2} f^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}}\tag{8}\\
&\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} =
\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9}
ただし $\tag{7}$ と $\tag{8}$ で、次の公式の $n=2$ の場合と $n=1/2$ の場合を使っています。( $g:$ 関数)
\frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 ) \tag{10}
後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまります。結果だけ書いておくと
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12}
です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $\tag{1}$ が得られる事が示されました。
補足説明
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ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。
実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。これらの全微分の具体的なかたちは $\tag{2}$ , $\tag{3}$ より
&df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{13}\\
&dr
= \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz
= \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14}
になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代入することによって
\frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz
= \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}dz
が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与えた式 $\tag{4}$ が出てくるというわけです。
&\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y} \tag{16}\\
&\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z} \tag{17}
重要事項(まとめ)
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関数を何の関数として見るかが、重要。
練習問題
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一通りの事が分かったところで実際に問題を解いてみましょう。
次の式を $\tag{1}$ , $\tag{4}$ , $\tag{10}$ を使って ${\bm{e}_x}$ , ${\bm{e}_y}$ , ${\bm{e}_z}$ の各成分を求めてください。
&\nabla \bm{r} \tag{18}\\
&\nabla \frac{1}{r} \tag{19}
答え
^^^^^^
\nabla \bm{r} &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \left(x \bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z} \right)\\
&= \left( \bm{e}_{x} \frac{\partial x\bm{e}_{x}}{\partial x}
+\bm{e}_{x} \frac{\partial y\bm{e}_{y}}{\partial x}
+\bm{e}_{x} \frac{\partial z\bm{e}_{z}}{\partial x}
+\bm{e}_{y} \frac{\partial x\bm{e}_{x}}{\partial y}
+\bm{e}_{y} \frac{\partial y\bm{e}_{y}}{\partial y}
+\bm{e}_{y} \frac{\partial z\bm{e}_{z}}{\partial y}
+\bm{e}_{z} \frac{\partial x\bm{e}_{x}}{\partial z}
+\bm{e}_{z} \frac{\partial y\bm{e}_{y}}{\partial z}
+\bm{e}_{z} \frac{\partial z\bm{e}_{z}}{\partial z} \right)\\
&= \bm{e}_{x}\bm{e}_{x} + \bm{e}_{y}\bm{e}_{y} + \bm{e}_{z}\bm{e}_{z} (=\bm{1}) \tag{20} \\
\\
\nabla \frac{1}{r} &= \nabla r^{-1}\\
&= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) \frac{1}{r} \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial x}\bm{e}_{x} + \frac{\partial r^{-1}}{\partial y }\bm{e}_y + \frac{\partial r^{-1}}{\partial z} \bm{e}_{z} \\
&= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r^{-1}}{\partial r}\bm{e}_{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial r^{-1}}{\partial r}\bm{e}_{y} + \frac{\partial r}{\partial z} \frac{\partial r^{-1}}{\partial r}\bm{e}_{z} [ \because (4)] \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} \left( \frac{\partial r}{\partial x}\bm{e}_x + \frac{\partial r}{\partial y}\bm{e}_y + \frac{\partial r}{\partial z}\bm{e}_z \right) \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right) r \\
&= \frac{\partial r^{-1}}{\partial r} \nabla r \\
&= (-1) r^{(-1-1)} \nabla r [\because (10)] \\
&= - \frac{1}{r^2} \frac{\bm{r}}{r} [\because (1)] \\
&= - \frac{\bm{r}}{r^{3}} \\
&= \frac{-x}{r^{3}}\bm{e}_{x} + \frac{-y}{r^{3}}\bm{e}_{y} + \frac{-z}{r^{3}}\bm{e}_{z} \tag{21}
式 $\tag{20}$ の最後のカッコ書きの部分については演算規則が単位元を満たしている事を確認してみてください。
あと、式 $\tag{19}$ のように微分される関数がある1つの変数 $s$ の関数のときは、次のように $\nabla$ を書き換えると複雑な計算をするときに便利です。
\nabla &= \left(
\bm{e}_{x} \frac{\partial }{\partial x}
+ \bm{e}_{y} \frac{\partial }{\partial y}
+ \bm{e}_{z} \frac{\partial }{\partial z}
\right)\\
&= \left( \frac{\partial s}{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial s}{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial s}{\partial z} \bm{e}_{z} \right) \frac{\partial}{\partial s} \tag{22}
例として $s=r$ のときを書いておきます。これは $\tag{22}$ の途中で $\tag{1}$ を代入してやれば、簡単に分かります。
\nabla &= \left( \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z} \right) \frac{\partial}{\partial r} \\
&= \frac{\bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partial r} [ \because (1)] \tag{23}
それでは $\tag{23}$ を使って次の式の成分を求めてみます。
\nabla {r}^{n}& \\
&(n\neq 0) \tag{24}
この式の ${n=1}$ の場合が質問された問題 $\tag{1}$ で、 ${n=-1}$ の場合が $\tag{19}$ です。
\nabla r^{n} &= \frac{ \bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partial r} r^{n} [\because (23)] \\
&= \frac{ \bm{r}}{r} n r^{n-1} [\because (10)] \\
&= n r^{n-2} \bm{r} \tag{25}
はじめの解法よりもずっと短くなったのが分かると思います。正確には $\tag{23}$ で前もって計算した結果を使っているので、
1つの計算問題を2つの計算に分けたにすぎません。しかし分けて細切れにすることで、他の計算で同じカタチをした部分が出たときに
代入していく事ができます。これはミスを少なく、短い時間で多くの計算をしていくときに有効なので早めに身に着けておくのが良いかもしれません。