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偏微分の計算方法
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任意の関数を偏微分しようと思ったら、関数の形だけ微分の公式を見つけなければなりません。
その公式を見つける際に、もとの関数を合成関数として見る方法があります。
そうすることで関数の偏微分するという問題は、合成関数の偏微分の問題に変わります。
そうすることで、ごく限られた微分の公式を覚えているだけで、多くの偏微分の公式を見つけることが可能になるのです。
ここでは、掲示板でよせられた質問についてのみ考えていきます。一般的な議論についてはここでは扱いませんので、あらかじめ
ご了承下さい。
質問と解説
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掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。
質問
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位置ベクトル $\bm{r}$ の動径距離 ${|\bm{r}| = r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ を直交成分 ${x,y,z}$ で偏微分すると、どうして次のようになるのですか。
\frac{\partial r}{\partial \bm{r}} &= \begin{pmatrix}
\frac{\partial }{\partial x} \bm{e}_{x}
+ \frac{\partial }{\partial y} \bm{e}_{y}
+ \frac{\partial }{\partial z} \bm{e}_{z}
\end{pmatrix} r\\
&= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x}
+ \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y}
+ \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\
&= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{y} + \frac{z}{r} \bm{e}_{z}\\
&=\frac{\bm{r}}{r} \tag{1}
解説
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この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るのが便利です。
&f = f(x,y,z) \tag{2}\\
&r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3}
すると偏微分は合成関数の偏微分の公式
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \tag{4}
が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書くと、次のようになります。
&f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\
&r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6}
実際に上記の式を利用した計算を示すと
&\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\
&\frac{\partial r}{\partial f} = 1/2 f^{1/2 - 1} =1/2 f^{-1/2} =\frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}}\tag{8}\\
&\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} =
\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9}
ただしこのとき $\tag{8}$ で次の公式の $n=1/2$ の場合を使っています。( $g:$ 関数)
\frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 ) \tag{10}
後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまります。結果だけ書いておくと
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12}
です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $\tag{1}$ が得られる事が示されました。
補足説明
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ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。
実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。これらの全微分の具体的なかたちは $\tag{1}$ , $\tag{2}$ より
&df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{13}\\
&dr
= \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz
= \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14}
になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代入することによって
\frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz
= \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}dz
が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与えた式 $\tag{4}$ が出てくるというわけです。
&\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \\
&\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y} \tag{16}\\
&\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z} \tag{17}