=================================== 合成関数の微分への利用 =================================== 任意の関数を偏微分しようと思ったら、関数の形だけ微分の公式を見つけなければなりません。 その公式を見つける際に、もとの関数を合成関数として見る方法があります。 そうすることで関数の偏微分するという問題は、合成関数の偏微分の問題に変わります。 この方法の利点は、ごく限られた微分の公式を覚えているだけで、多くの偏微分の公式を見つけることが可能になるのです。 ここでは、掲示板でよせられた質問についてのみ考えていきます。一般的な議論についてはここでは扱いませんので、あらかじめ ご了承下さい。 質問と解説 -------------------------------- 掲示板で次のような問題について質問がよせられてきました。 質問 ^^^^^^^^^^^ 位置ベクトル ${\bm{r} = x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}$ の動径距離 ${|\bm{r}| = r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ を直交成分 ${x,y,z}$ で偏微分すると、どうして次のようになるのですか。 \frac{\partial r}{\partial \bm{r}} &= \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial }{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial }{\partial z} \bm{e}_{z} \end{pmatrix} r\\ &= \frac{\partial r}{\partial x} \bm{e}_{x} + \frac{\partial r}{\partial y} \bm{e}_{y} + \frac{\partial r}{\partial z} \bm{e}_{z}\\ &= \frac{x}{r} \bm{e}_{x} + \frac{y}{r} \bm{e}_{y} + \frac{z}{r} \bm{e}_{z}\\ &= \frac{x\bm{e}_{x} + y \bm{e}_{y} + z \bm{e}_{z}}{r}\\ &= \frac{\bm{r}}{r} \tag{1} 解説 ^^^^^^^^^^^ この問題の場合、関数 $r$ を次のような合成関数として見るのが便利です。 &f = f(x,y,z) \tag{2}\\ &r = r(x,y,z) = r(f) \tag{3} すると偏微分は合成関数の偏微分の公式 \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \tag{4} が使えます。 $\tag{2}$ , $\tag{3}$ に具体的な関数を書き込むと、次のようになります。 &f = x^2 +y^2 +z^2 \tag{5}\\ &r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } = \sqrt{f} \tag{6} これでもう計算の準備が整いました。分からない方もいるかもしれませんので、ここでひとこと説明を加えておきます。 結局、ここで説明している計算の方法としては ${\tag{5}}$ , $\tag{6}$ のように、適当に微分の公式が使えるような 関数のかたちとして見て、それらを $\tag{4}$ 式に代入して計算をおしすすめていこうという方針です。数式で示すと、次の通りです。 &\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \tag{7}\\ &\frac{\partial r}{\partial f} = 1/2 f^{1/2 - 1} =1/2 f^{-1/2} =\frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}}\tag{8}\\ &\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}} = \frac{x}{r} \tag{9} ただし $\tag{7}$ と $\tag{8}$ で、次の公式の $n=2$ の場合と $n=1/2$ の場合を使っています。( $g:$ 関数) \frac{\partial g^{n}}{\partial g} = n g^{n-1} (n \neq 0 ) \tag{10} 後の $y,z$ についての偏微分についても同じ方法でもとまります。結果だけ書いておくと &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{11}\\ &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} \tag{12} です。こうして $\tag{9}$ , $\tag{11}$ , $\tag{12}$ から $\tag{1}$ が得られる事が示されました。 補足説明 ^^^^^^^^^^ ここでは与えた式 $\tag{4}$ の導出を説明しておきます。 実はこの式は、全微分 $df,dr$ から自然に出てくる式です。これらの全微分の具体的なかたちは $\tag{2}$ , $\tag{3}$ より &df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{13}\\ &dr = \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz = \frac{\partial r}{\partial f}df \tag{14} になります。 $\tag{13}$ を $\tag{14}$ の最後のところに代入することによって \frac{\partial r}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial z}dz = \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial r}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}dz が成り立つことが分かります。両辺を比較すると公式として与えた式 $\tag{4}$ が出てくるというわけです。 &\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial x} \\ &\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y} \tag{16}\\ &\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z} \tag{17} 重要事項（まとめ） ^^^^^^^^^^^^^^^^^ 関数を何の関数として見るかが、重要。 力学への応用 ------------- 最後に馴染み深い力学への応用を見てみましょう。 ここで説明したい応用例というのは、速度を $t$ の関数としてみると、運動方程式は速さの時間による変化を知ることのできる方程式になります。このことはよく知られていると思います。 ところが一方で速度を経路 $s$ の関数としてみると、移動距離による速さの変化を知る事のできる方程式になります。今回はこのことを確認しておきたいと思います。 準備 ^^^^^ 力学への応用の準備として、ニュートンの運動方程式を接線方向と法線方向に分けて書き表したいと思います。 まず、ニュートンの運動方程式はベクトルで次のように書かれます。 &\bm{r} = \bm{r}(t) \tag{18}\\ &m \frac{d^2 \bm{r}}{dt^2} = \bm{F} \tag{19} 補足しておきますと、 $\bm{r}$ は位置ベクトル、 $\bm{F}$ は力、 $m$ は慣性質量です。ここで速度 ${\bm{v}(t)}$ を &\dot{\bm{r}} \equiv \bm{v} =|\bm{v}| \bm{e}_t = \frac{ds}{dt} \bm{e}_t \tag{20} と定義しておきます。 ${\bm{e}_{t}}$ とは経路 $s$ に対する接線ベクトルです。 すると、運動方程式 $\tag{19}$ は次のように書き換えることができます。 m \frac{d \bm{v}}{dt} &= m \frac{d |\bm{v}|\bm{e}_t }{dt}\\ &= m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m |\bm{v}| \dot{\bm{e}_t}\\ &= \bm{F} \tag{21} ここで微小時間 $dt$ の間に接線ベクトルの角度が ${d\phi}$ だけ変化したとします。 すると ${d\bm{e}_t}$ の大きさは ${d\phi}$ なので ${d\bm{e}_{t}}$ の向きの単位ベクトル ${\bm{e}_{n}}$ は次のように書けます。 \bm{e}_n = \frac{d \bm{e}_t }{d \phi} このベクトルは経路に対して法線方向を向きます。つまり ${\bm{e}_t}$ と ${\bm{e}_n}$ は垂直です。 これは ${{\bm{e}_t}^2 = 1}$ の両辺を $t$ で微分することによって得ます。実際に計算してみると \frac{d{\bm{e}_t}^2}{dt} = 0\\ 2\bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} = 0\\ .^{\cdot}. \bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} =0 \tag{22} 更に曲率半径 $\rho$ を導入すると ${\rho d\phi = ds}$ が言えるので $\dot{\bm{e}_t}$ は \dot{\bm{e}_t} &= \frac{ds}{dt} \frac{d\bm{e}_t}{ds}\\ &= |\bm{v}| \frac{d \phi}{ds} \frac{d \bm{e}_t}{d \phi}\\ &= |\bm{v}| \frac{1}{\rho} \bm{e}_n\\ &= \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n \tag{23} と書き換えることができます。そうすると $\tag{22}$ に $\tag{23}$ を代入する事によって \bm{e}_t \cdot \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n = 0\\ .^{\cdot}. \bm{e}_t \cdot \bm{e}_n = 0 \tag{24} となり、確かに ${\bm{e}_n}$ は経路に対する法線ベクトルである事が示されます。次に $\tag{23}$ を $\tag{21}$ に代入してやると m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m\frac{|\bm{v}|^2}{\rho} \bm{e}_n = \bm{F} \tag{25} と運動方程式を書き直すことができます。ここまでで、今回の記事の計算テクニックがバンバン使われている事が分かると思います。それだけ重要だということです。 応用例 ^^^^^^^ まず $\tag{25}$ を速度を経路 $s$ の関数としてみましょう。すると運動方程式は次のように書けます。 \bm{F}(s) &= F_t(s) \bm{e}_t + F_n (s) \bm{e}_n\\ &= m \frac{d|\bm{v(s)}|}{dt} \bm{e}_t + m\frac{|\bm{v(s)}|^2}{\rho} \bm{e}_n\\ &= m \frac{ds}{dt} \frac{d |\bm{v}|}{ds}\bm{e}_t + m \frac{|\bm{v}|^2}{\rho} \bm{e}_n \\ &= m |\bm{v}| \frac{d|\bm{v}|}{ds} \bm{e}_t + m \frac{|\bm{v}|^2}{\rho} \bm{e}_n \tag{26} 次に接線方向と法線方向に分けて計算をしていきます。まずは接線方向について計算をしていきます。（ ${|\bm{v}| = v}$ と書きます） mv \frac{dv}{ds} = F_t\\ mvdv = F_t ds と変数分離することができます。後は両辺を積分してやると &\int mv dv = \int F_t ds \\ &\frac{mv^2}{2} = \int F_t ds \\ &.^{\cdot}. v = \sqrt{ \frac{2 }{m} \int F_t ds} \tag{27} 最終的な結果として $v$ のマイナスの方の解が捨てられるのは ${v = |\bm{v}|}$ で大きさのみを扱っているからです。これで目的である移動距離から（接線方向の力が与えれられれば）速度の大きさを知る 式を得ることができました。次に法線方向について計算していきます。これは $\tag{27}$ を用いるとすぐに F_n &= \frac{v^2}{\rho}\\ &= \frac{2}{m} \frac{\int F_t ds}{\rho} \tag{28} という関係式が見えてきます。この式から法線方向と接線方向の力は独立でなく &F_n = F_n (F_t)\\ &F_t = F_t (s) \tag{29} と見ることもできます。 練習問題 ^^^^^^^^^ 初速度の大きさ ${v_{0}}$ で動く質点に空気抵抗 ${-kv(s)}$ が働いているとします。速度の移動距離 $s$ を変数とした式を求め、停止するまでの 移動距離 $L$ を求めてください。答えだけ以下に示しておきます。 （答え） &v(s) = -\frac{k}{m} s + v_0 \\ &L = \frac{m v_{0}}{k} \tag{30}