=========================================== ニュートンの第2法則で第1法則を説明しよう =========================================== 慣性の法則とはニュートンの第１法則とも呼ばれます。この法則、考えてみればなかなか面白い性質です。 なぜかは分かりませんがどんな運動でも同等というわけではなく、物質は力が働かないときは等速でしかも直線に運動するというのです。 力が働いていない事から、この性質はもとから物質が持っている性質だと解釈されます。 今回は運動方程式を使ってこのことを説明したいと思います。どうしてそんなことができるのかと疑問に思われるかもしれませんが、 第１法則は運動方程式（第２法則）に含まれています。ただ少し見やすくするためにベクトルの成分を選ばなければならないというだけです。 運動方程式（第2法則） --------------------- 第2法則で第1法則を説明するのためには、運動方程式を接線方向と法線方向に分けて書くのが一番分かりやすいです。 まず、ニュートンの運動方程式はベクトルで次のように書かれます。 &\bm{r} = \bm{r}(t) \tag{1}\\ &m \frac{d^2 \bm{r}}{dt^2} = \bm{F} \tag{2} 補足しておきますと、 $\bm{r}$ は位置ベクトル、 $\bm{F}$ は力、 $m$ は慣性質量です。ここで速度 ${\bm{v}(t)}$ を \dot{\bm{r}} &\equiv \bm{v} =|\bm{v}| \bm{e}_t = \frac{ds}{dt} \bm{e}_t \\ &= |\bm{v}| \left( \frac{dx}{ds} \bm{e}_{x} + \frac{dy}{ds} \bm{e}_{y} + \frac{dz}{ds} \bm{e}_{z} \right) \tag{3} と定義しておきます。 ${\bm{e}_{t}}$ とは経路 $s$ に対する接線ベクトルです。 すると、運動方程式 $\tag{19}$ は次のように書き換えることができます。 m \frac{d \bm{v}}{dt} &= m \frac{d |\bm{v}|\bm{e}_t }{dt}\\ &= m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m |\bm{v}| \dot{\bm{e}_t}\\ &= \bm{F} \tag{4} ここで微小時間 $dt$ の間に接線ベクトルの角度が ${d\phi}$ だけ変化したとします。 すると ${d\bm{e}_t}$ の大きさは ${d\phi}$ なので ${d\bm{e}_{t}}$ の向きの単位ベクトル ${\bm{e}_{n}}$ は次のように書けます。 \bm{e}_n = \frac{d \bm{e}_t }{d \phi} このベクトルは経路に対して法線方向を向きます。つまり ${\bm{e}_t}$ と ${\bm{e}_n}$ は垂直です。 これは ${{\bm{e}_t}^2 = 1}$ の両辺を $t$ で微分することによって得ます。実際に計算してみると \frac{d{\bm{e}_t}^2}{dt} = 0\\ 2\bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} = 0\\ \therefore \bm{e}_t \cdot \dot{\bm{e}_t} =0 \tag{5} 更に曲率半径 $\rho$ を導入すると ${\rho d\phi = ds}$ が言えるので $\dot{\bm{e}_t}$ は \dot{\bm{e}_t} &= \frac{ds}{dt} \frac{d\bm{e}_t}{ds}\\ &= |\bm{v}| \frac{d \phi}{ds} \frac{d \bm{e}_t}{d \phi}\\ &= |\bm{v}| \frac{1}{\rho} \bm{e}_n\\ &= \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n \tag{6-1} と書き換えることができます。また ${|\bm{v}|= \frac{ds}{dt}}$ より \frac{d\bm{e}_{t}}{ds} = \frac{1}{\rho} \bm{e}_{n} \tag{6-2} とも書けます。そうすると $\tag{5}$ に $\tag{6-1}$ を代入する事によって \bm{e}_t \cdot \frac{|\bm{v}|}{\rho} \bm{e}_n = 0\\ \therefore \bm{e}_t \cdot \bm{e}_n = 0 \tag{7} となり、確かに ${\bm{e}_n}$ は経路に対する法線ベクトルである事が示されます。次に $\tag{6-1}$ を $\tag{4}$ に代入してやると m \dot{|\bm{v}|} \bm{e}_t + m\frac{|\bm{v}|^2}{\rho} \bm{e}_n = \bm{F} = F_{t} \bm{e}_{t} + F_{n} \bm{e}_{n} \tag{8} と運動方程式を目的のカタチに書き直すことができます。 第2法則から第1法則へ ---------------------- 実は $\tag{8}$ を注意深く見れば、第1法則が見えてきます。まず力がゼロを代入すると各成分から次の連立方程式が得られます。 &\dot{|\bm{v}|} = 0 \tag{9}\\ &\frac{|\bm{v}|^{2}}{\rho} = 0 \tag{10} 初速度の大きさを ${v_{0}}$ とすると $\tag{9}$ を時間で積分して |\bm{v}|=v_{0}=const. \tag{11} を得ます。すると $\tag{10}$ は $\tag{11}$ から ${\frac{{v_{0}}^2}{\rho} = 0}$ より &\rho = \infty \\ &v_{0} = 0 \tag{12} である事が分かります。この式から ${v_{0}}$ がゼロでないとき曲率半径が無限大。つまり曲率 ${\frac{1}{\rho}=0}$ で直線運動をし、 $\tag{12}$ から等速運動をすることがわかります。 また ${v_{0}=0}$ のときは静止したままであることも分かります。これで第2法則には第1法則の内容が含まれていることが示されました。 それならば第1法則などいらないのではないかと思われるかもしれませんが、それは個人の感覚に任せる事にします。 自然座標系を使った効果 ------------------------ 今回の説明は、基底ベクトルが ${\bm{e}_{t}}$ , ${\bm{e}_{n}}$ , ${\bm{e}_{b}}$ の自然座標系を用いました。 実はこれにこそ今回の説明の特色なのです。これによって物体は"力が働かなくなったときの接線の方向"へ等速直線運動することが 明確に示されるのです。 補足 ------ 今回の説明で現れた曲率半径について補足説明しておきます。加えてねじれ率半径についても説明しておきます。 曲率半径 ^^^^^^^^^^ 曲率半径は接線の回転の中心までの距離を意味します。だからその逆数は曲率を与えるというわけです。定量的に表すとき曲率半径は、 $x,y,z$ を $s$ の関数 としてみると ${|d\bm{e}_{t}|=d\phi}$ に気付けば、 $\tag{3}$ より次のように書けます。 d\phi &= |d\bm{e}_{t}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2 + \left(\frac{dy}{ds}\right)^{2} + \left(\frac{dz}{ds}\right)^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} } ds\\ \therefore \rho &= \frac{ds}{d\phi} = \frac{ds}{\sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} } ds}\\ &= \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} }} \tag{13} ねじれ率半径 ^^^^^^^^^^^^^^ ねじれ率半径は接線と法線のはる平面の回転中心までの距離を意味します。そしてその逆数はねじれ率を意味するわけです。まず陪法線方向の単位ベクトル ${\bm{e}_{b}}$ は定義から \bm{e}_{b} = \bm{e}_{t} \times \bm{e}_{n} \tag{14-1} と書けます。またベクトルの性質より &\bm{e}_{t} = \bm{e}_{n} \times \bm{e}_{b} \tag{14-2}\\ &\bm{e}_{n} = \bm{e}_{b} \times \bm{e}_{t} \tag{14-3} とも書けます。次に $ds$ 移動する間の陪法線ベクトル変化 $d\bm{e}_{b}$ は \frac{d\bm{e}_{b}}{ds} &= \frac{d}{ds} (\bm{e}_{t} \times \bm{e}_{n})\\ &= \frac{d\bm{e}_{t}}{ds} \times \bm{e}_{n} + \bm{e}_{t} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\\ &= \frac{d \bm{e}_{t}}{ds} \times \rho \frac{\bm{e}_{t}}{ds} + \bm{e}_{t} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} [\because (6)]\\ &= \bm{e}_{t} \times \frac{d \bm{e}_{n}}{ds} \tag{15} と書けますから ${\bm{e}_{t}}$ と垂直であり、かつ ${{\bm{e}_{b}}^{2} = 1}$ の両辺を微分する事によって ${\tag{5}}$ と同じように $\bm{e}_{t}$ と垂直である事が分かります。 このことから ${\frac{d\bm{e}_{b}}{ds}}$ は ${\bm{e}_{n}}$ の方向を向く事が分かります。または ${\frac{d\bm{e}_{n}}{ds}}$ と ${\bm{e}_{n}}$ は垂直ということから $\tag{16}$ に $\tag{15-2}$ を代入することに よってでも示すことができます。 \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} &= ( \bm{e}_{n} \times \bm{e}_{b} ) \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\\ &=-\frac{d\bm{e}_{n}}{ds} \times (\bm{e}_{n} \times \bm{e}_{b}) \\ &= -\left( \bm{e}_{n} \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\cdot\bm{e}_{b} - \bm{e}_{b} \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\cdot\bm{e}_{n} \right)\\ &= -\left( \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\cdot\bm{e}_{b} \right) \bm{e}_{n} \tag{16} ここで ${\frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\cdot\bm{e}_{b}}$ は $\tag{14-1}$ より (*) = \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\cdot\bm{e}_{b} &= \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} \cdot(\bm{e}_{t} \times \bm{e}_{n})\\ &= \bm{e}_{t} \cdot \left(\bm{e}_{n} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} \right) ここで線方向から見たとき、 $ds$ 進む間に $\bm{e}_{b}$ の回転中心が軌道から $\tau$ だけ離れおり、 ${d\phi^{\prime}}$ だけ回転したとします。 法線方向と ${\left(\bm{e}_{n} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} \right)}$ とのなす角を ${\theta^{\prime}}$ とします。 すると ${ \left( \bm{e}_{n} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} \right) }$ の単位ベクトルを ${\bm{e}}$ と書くと $(*)$ は更に次のように書けます (*) &= \bm{e}_{t} \cdot \bm{e} \left|\frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\right|\sin \frac{\pm \pi}{2} \\ &= \pm \cos \theta^{\prime} \frac{\pm d \bm{e}_{n}}{ds}\\ &= \frac{d \bm{e}_{n} \cos \theta^{\prime}}{ds} ここで ${d \bm{e}_{n}}$ の接線方向の成分は角度 ${\phi^{\prime}}$ の変化に等しいので ${d\bm{e}_{n} \cos \theta^{\prime} = d\phi^{\prime}}$ と書けるので $(*)$ は (*) = \frac{d\phi^{\prime}}{ds} になるわけです。最後に曲率半径と同様に ${\tau d\phi^{\prime} = ds}$ が言えるので $(*)$ は (*) = \frac{\frac{1}{\tau} ds}{ds} = \frac{1}{\tau} \tag{17} となります。 $\tag{17}$ を $\tag{16}$ に代入してやると \frac{d\bm{e}_{b}}{ds} = - \frac{1}{\tau} \bm{e}_{n} \tag{18} を得ます。これで陪法線方向の変化率が分かりました。ついでにこの式を用いて法線ベクトルの経路に対する 変化率 $\frac{d\bm{e}_{n}}{ds}$ を求めておきましょう。 $\tag{14-3}$ の両辺を $s$ で微分し \frac{d\bm{e}_{n}}{ds} &= \frac{d}{ds} (\bm{e}_{b} \times \bm{e}_{t})\\ &= \frac{d\bm{e}_{b}}{ds} \times \bm{e}_{t} + \bm{e}_{b} \times \frac{d\bm{e}_{t}}{ds}\\ &= \frac{-1}{\tau} \bm{e}_{n} \times \bm{e}_{t} + \bm{e}_{b} \times \frac{1}{\rho} \bm{e}_{n} [\because (6-2),(18)]\\ &= \frac{1}{\tau} \bm{e}_{b} - \frac{1}{\rho} \bm{e}_{t} [\because (14-1),(14-3)] \tag{19} を得ます。それでは準備が整いましたので、これまでに得られた式を用いてねじれ率半径を定量的に求めていきます。 まず $\tag{15}$ の左辺に $\tag{18}$ を代入します。すると -\frac{1}{\tau}\bm{e}_{n} &= \bm{e}_{t} \times \frac{d\bm{e}_{n}}{ds}\\ &= \bm{e}_{t} \times \rho \frac{d^{2}\bm{e}_{t}}{ds^{2}} となります。次に ${\bm{e}_{n}}$ との内積をとります。するとねじれ率半径 $\tau$ は次のようになります。 &-\frac{1}{\tau} \bm{e}_{n}\cdot \bm{e}_{n} =- \bm{e}_{n} \cdot \left( \rho \frac{d^{2}\bm{e}_{t}}{ds^{2}} \times \bm{e}_{t} \right) \\ &-\frac{1}{\tau} = \rho^{2} \frac{d \bm{e}_{t}}{ds} \cdot \left( \frac{d^{2}\bm{e}_{t}}{ds^{2}} \times \bm{e}_{t} \right)\\ \therefore \tau &= \frac{\rho^{2}}{\left[\bm{e}_{t} , \frac{\bm{e}_{t}}{ds} , \frac{d^{2}\bm{e}_{t}}{ds^{2}} \right]} \\ &= \rho^{2} \frac{1}{\begin{vmatrix} \frac{dx}{ds}&\frac{dy}{ds}&\frac{dz}{ds}\\ \frac{d^{2}x}{ds^{2}}&\frac{d^{2}y}{ds^{2}}&\frac{d^{2}z}{ds^{2}}\\ \frac{d^{3}x}{ds^{3}}&\frac{d^{3}y}{ds^{3}}&\frac{d^{2}z}{ds^{3}}\\ \end{vmatrix}} [\because (3)]\\ &= \frac{1}{ \left( \frac{d^{2}x}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}y}{ds^{2}} \right)^{2} + \left( \frac{d^{2}z}{ds^{2}} \right)^{2} } \frac{1}{\begin{vmatrix} \frac{dx}{ds}&\frac{dy}{ds}&\frac{dz}{ds}\\ \frac{d^{2}x}{ds^{2}}&\frac{d^{2}y}{ds^{2}}&\frac{d^{2}z}{ds^{2}}\\ \frac{d^{3}x}{ds^{3}}&\frac{d^{3}y}{ds^{3}}&\frac{d^{2}z}{ds^{3}}\\ \end{vmatrix}} [\because (9)] \tag{20} ところで直線運動のとき、ねじれ率はゼロでなければなりません。つまりこれはある1つの平面上で運動することを意味します。更に力が働かないときは曲率もゼロであるので、 ある一つの直線上（力が働かなくなったときの接線上）を運動することが分かります。力が働かないときにねじれ率がゼロであることは $\tag{9}$ から &\frac{d^{2}x}{ds^{2}} = 0\\ &\frac{d^{2}y}{ds^{2}} = 0\\ &\frac{d^{2}z}{ds^{2}} = 0 が言えるので、これを $\tag{20}$ に代入することで確かめられます。 &\tau = \frac{1}{ 0^{2} + 0^2 +0^2 } \frac{1}{\begin{vmatrix} \frac{dx}{ds}&\frac{dy}{ds}&\frac{dz}{ds}\\ 0&0&0\\ \frac{d^{3}x}{ds^{3}}&\frac{d^{3}y}{ds^{3}}&\frac{d^{2}z}{ds^{3}}\\ \end{vmatrix}} = \frac{1}{0} \cdot \frac{1}{0} = \infty\\ &\therefore \frac{1}{\tau} = 0 フレネ・セレの公式 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 本文中で出てきた $\tag{6-2}$ , $\tag{18}$ , ${\tag{19}}$ の3式はフレネ・セレの公式という名前が付いています。 &\frac{d\bm{e}_{t}}{ds} = \frac{1}{\rho} \bm{e}_{n}\\ &\frac{d\bm{e}_{b}}{ds} = - \frac{1}{\tau} \bm{e}_{n}\\ &\frac{d\bm{e}_{n}}{ds} = \frac{1}{\tau} \bm{e}_{b} - \frac{1}{\rho} \bm{e}_{t}