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電気双極子の問題
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問題設定
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真空中で位置 ${\bm{r}_1}$ に電荷が ${-q}$ 、位置 $\bm{r}$ に電荷が ${q}$ があるとします。 ${\left( \bm{r}_2 - \bm{r}_1 = \bm{l} \right)}$ で一定
のとき、位置 ${\bm{r}}$ における電場を ${\left( r \gg l \right)}$ の範囲での近似解をもとめてください（電場 $\bm{E}$ と $V$ の関係は ${\bm{E} = - \nabla V}$ の関係で結ばれます）。
このときの電位 ${V(\bm{r})}$ は近似的に次のように書けます。
<tex>
V(\bm{r}) &\simeq \frac{q \bm{l}\cdot \bm{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} \tag{24-1}\\
          &= - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\bm{l} \cdot \nabla \frac{1}{r} [\because (19)] \tag{24-2}
</tex>

答え
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<tex>
\bm{E}(\bm{r}) &= -\nabla V(\bm{r})\\
               &\simeq \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q\bm{l} \cdot \nabla \nabla \frac{1}{r} [\because (24-2)]\\
               &= - \nabla \frac{q \bm{l}\cdot \bm{r}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{3}} [\because (24-1)]\\
               &= - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } q\bm{l} \cdot \nabla (\bm{r}r^{-3}) \\
               &=   \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q\bm{l} \cdot ( - \bm{r} \nabla r^{-3} - r^{-3} \nabla \bm{r} ) [\because (4),(20)]\\
               &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \bm{l} \cdot \left( - \bm{r} \frac{\partial r^{-3}}{\partial r}\nabla r - r^{-3} \right) \\
               &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \bm{l} \cdot \left( - \bm{r} (-3)r^{-3-1} \nabla r - r^{-3} \right) [\because (10)] \\
               &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \bm{l} \cdot \left( 3 \bm{r}r^{-4} \bm{r}r^{-1} - r^{-3} \right)  [\because (1)]\\
               &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} q \bm{l} \cdot \left( 3 \frac{\bm{r}\bm{r}}{r^{5}} - \frac{1}{r^{3}} \right) \\
               &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}  \left( 3 \frac{q\bm{l}\cdot\bm{r}\bm{r}}{r^{5}} - \frac{q\bm{l}}{r^{3}} \right) \tag{25}
</tex>
また、この式の上から2段目と最後から2番目の段を見比べると次の事も分かります。
<tex>
\nabla \nabla \frac{1}{r} = 3 \frac{\bm{r}\bm{r}}{r^{5}} - \frac{1}{r^{3}} \tag{26}
</tex>

補足
^^^^^^^
練習問題2.で与えた式 $\tag{21}$ について説明を加えておきます。
まずは、クーロンの法則より電荷 ${-q}$ がつくる電位 ${V_{1}}$ , 電荷 $q$ がつくる電位 ${V_{2}}$ は
<tex>
&V_{1}(\bm{r},\bm{r}_{1}) = \frac{-q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{|\bm{r} - \bm{r}_{1}|}\\
&V_{2}(\bm{r},\bm{r}_{2}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{|\bm{r} - \bm{r}_{2}|}
</tex>
と書けます。そこから全電位は
<tex>
V(\bm{r},\bm{r}_{1},\bm{r}_{2}) &= V_{1}(\bm{r},\bm{r}_{1}) + V_{2}(\bm{r},\bm{r}_{2})\\
                                &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{-q}{|\bm{r} - \bm{r}_{1}|} + \frac{q}{|\bm{r} - \bm{r}_{2}|} \right) \\
                                &= \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( -|\bm{r} - \bm{r}_{1}|^{-1} + |\bm{r} - \bm{r}_{2}|^{-1} \right) \tag{27}
</tex>
と書けることが分かります。ここで次の式をそれぞれ ${\frac{r_{1}}{r} = X}$ , ${\frac{r_{2}}{r} = Y}$ の関数として見ます。
<tex>
&\left( 1 - 2 \frac{{r}_{1}}{r} \cos {\theta}_{1} + \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^2 \right)^{-\frac{1}{2}}  = F \left( \frac{r_{1}}{r} \right) = F(X) \tag{28-1}\\
&\left( 1 - 2 \frac{{r}_{2}}{r} \cos {\theta}_{2} + \left( \frac{r_{2}}{r} \right)^2 \right)^{-\frac{1}{2}}  = G \left( \frac{r_{2}}{r} \right) = G(Y) \tag{28-2}
</tex>
次にこの二つの式を原点を中心に テイラー級数_ に展開します。すると
<tex>
F(X) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left. \frac{\partial^{n}F}{\partial X^{n}} \right|_{X=0} X^{n} \\
     &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} \cos^{(n-2k)} \theta_{1} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{n}\\
     &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} \left( \frac{\bm{r}_{1} \cdot \bm{r}}{rr_{1}} \right)^{n-2k} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{n}\\
     &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} \left( \bm{r}_{1}  \cdot \frac{\bm{r}}{r} \right)^{n-2k} \left( \frac{1}{r_{1}} \right)^{n-2k} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{n} \\
     &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} \frac{r^{n-2k+1}}{(n-2k)! (-1)^{n-2k}}\left( \frac{1}{r_{1}} \right)^{n-2k} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{n} \left( \bm{r}_{1}  \cdot \frac{\bm{r}}{r} \right)^{n-2k} \frac{\partial^{n-2k}}{\partial r^{n-2k}} \frac{1}{r} \\
     &= r \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!}\frac{1}{(n-2k)! (-1)^{n-2k}} \left( \frac{r}{r_{1}} \right)^{n-2k} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{n} \left( \bm{r}_{1}  \cdot \frac{\bm{r}}{r} \frac{\partial}{\partial r} \right)^{n-2k} \frac{1}{r} \\
     &= r \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^{n-k}(2n-2k)!}{2^{n} k! (n-k)! (n-2k)!(n-2k)!} \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^{2k} (\bm{r}_{1} \cdot \nabla)^{n-2k}\frac{1}{r} [\because (23) ] \\
     &= r \left( \frac{1}{r} - (\bm{r}_{1} \cdot \nabla) \frac{1}{r} +\frac{1}{2} (\bm{r}_{1} \cdot \nabla)^{2} \frac{1}{r} \cdot\cdot\cdot \right) \tag{29-1} \\
\\
G(Y) &=  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left. \frac{\partial^{n}G}{\partial Y^{n}} \right|_{Y=0} Y^{n} \\
     &=  \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} \cos^{(n-2k)} \theta_{2} \left( \frac{r_{2}}{r} \right)^{n}\\
     &= r \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^{n-k}(2n-2k)!}{2^{n} k! (n-k)! (n-2k)!(n-2k)!} \left( \frac{r_{2}}{r} \right)^{2k} (\bm{r}_{2} \cdot \nabla)^{n-2k}\frac{1}{r}  \\
     &= r \left( \frac{1}{r} - (\bm{r}_{2} \cdot \nabla) \frac{1}{r} +\frac{1}{2} (\bm{r}_{2} \cdot \nabla)^{2} \frac{1}{r} \cdot\cdot\cdot \right) \tag{29-2}
</tex>
となります（ $[*]$ とは $*$ を超えない最大の整数のことです）。すると以下の式は近似的に次のように書けます。
<tex>
(| \bm{r} - \bm{r}_{2} |^{-1} - |\bm{r} - \bm{r}_{1} |^{-1} ) &= \frac{1}{r} \left( 1 - 2 \frac{{r}_{2}}{r} \cos {\theta}_{2} + \left( \frac{r_{2}}{r} \right)^2 \right)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{r} \left( 1 - 2 \frac{{r}_{1}}{r} \cos {\theta}_{1} + \left( \frac{r_{1}}{r} \right)^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
                                                              &= \frac{G(Y)}{r} - \frac{F(X)}{r} \\
                                                              &= \left( \frac{1}{r} - (\bm{r}_{2} \cdot \nabla) \frac{1}{r} +\frac{1}{2} (\bm{r}_{2} \cdot \nabla)^{2} \frac{1}{r} \cdot\cdot\cdot \right) \\
                                                              &- \left( \frac{1}{r} - (\bm{r}_{1} \cdot \nabla) \frac{1}{r} +\frac{1}{2} (\bm{r}_{1} \cdot \nabla)^{2} \frac{1}{r} \cdot\cdot\cdot \right) \\
                                                              &\simeq - (\bm{r}_{2} - \bm{r}_{1}) \cdot \nabla \frac{1}{r} [\because r \gg l]\\
                                                              &= - \bm{l} \cdot \nabla \frac{1}{r}\\
                                                              &= \frac{\bm{l} \cdot \bm{r}}{r^{3}} \tag{30}
</tex>
ただし、式 $\tag{30}$ の5段目で ${(r \gg l)}$ から $\frac{l}{r}$ 2次以降の項は非常に小さいので切り捨ています。後は $\tag{30}$ を $\tag{27}$ に代入して電位 $V$ が $\tag{24}$ になる事が分かります。ところで $\tag{29}$ で現れた複雑なかたちをした
多項式
<tex>
P_n (x) = \sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k} (2n - 2k)!}{2^{n} k! (n-k)!(n-2k)!} &x^{n-2k} \\
                                                                               & (-1 \le  x \le  1) \tag{31}
</tex>
ですが、これにはルジャンドル多項式という名前がついています。これについてはまた別の機会に説明したいと思います。

.. _テイラー級数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/taylor/index.html

@@author: おこめ@@
@@accept: YYYY-MM-DD@@