======================= 角速度1 ======================= 角速度はある座標の原点から見たときの単位動径距離あたりの速度の回転成分を持つ軸性ベクトルです。 この定義から次元は時間分の１( $SI$ 単位系 $[$ $sec^{-1}$ $]$ )であることが分かります。速度という次元をもつわけではありません。 また軸性ベクトルは基本的に普通のベクトルとは違います。軸性ベクトルの場合は軸の周りの回転成分を書くわけです。 このあたりの事情はここの説明を読めば分かるかと思います。 ----------------------------------------------- 1.オイラー角を利用して速度の回転成分を求めよう ----------------------------------------------- ここでは質点の速度の回転成分を求める事を考えます。その方法とは次の方法が考えられます。 [もとめる方法] {1}時刻 $t$ の質点の位置 ${\bm{x}_{1} (t)}$ がある一つの軸上にのるような座標 ${\bm{x}_{3}}$ を極座標変数 ${r,\theta,\phi}$ を用いて表す。 これは動径方向以外はゼロになるはずです。極座標変数で表すのは動径成分と回転成分を分離させる狙いがあります。 {2}時刻 ${t + \delta t}$ の質点の位置 ${x ( t + \delta t )}$ をある一つの軸上に乗るような 座標 ${\bm{x}_{3}}$ で時刻 ${t + \delta t}$ の質点の位置と時刻 $t$ の質点の位置を極座標変数を用いて表す。 {3}{2}で求めた式を用いて時間微分を行い質点の座標 ${\bm{x}_{3}}$ 上での速度成分を求める。 これによって速度の回転成分と動径成分がそれぞれもとまります。 {1} 回転による座標変換にはオイラー角を利用するのが便利です。 まず時刻tにおける質点の位置 $x$ を直交直線座標で表したものを極座標変数で表現すると次のようになります。 x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \tag{1}\\ y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \tag{2}\\ z_{1} &= r \cos\theta \tag{3} 次に時刻tにおける質点の位置が ${z_{3}}$ 軸上になるような座標変換を実行します。これはオイラー角を利用して ${z_{1}}$ 軸周りに $\phi$ だけ回転し、次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させてやれば良いわけです。結果は ${z_{3}}$ 成分が $r$ でそれ以外はゼロになる事は 図を書けば計算しなくても分かります。しかし本当に考えたとおりになっているのかオイラー角の計算に慣れるためにも計算してみましょう。 計算する方法は次のとおりです。計算は各自でやってみてください。ここではその方法のみを示しておきます。 ｛計算方法｝ [1]z軸周りに $\phi$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{4} [2] ${y_{2}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{5} [3] $\tag{5}$ 式に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\tag{3}$ 式を代入 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ r \end{pmatrix} \tag{6} [1],[2],[3]の計算を実行すれば予測された結果である $\tag{6}$ 式が得られます。 これで $\bm{x_{3}}$ は ${z_{3}}$ 軸上に質点が時刻 $t$ にあるような座標系になることが確かめられました。 {2} 次に時刻 ${t+ \delta t}$ に質点が ${z_{5}}$ 軸上に乗るような座標 $\bm{x_{5}}$ を極座標変数を用いて書き表します。 この座標変換は $x_{1}$ を $z_{1}$ を中心に ${\phi + \delta \phi}$ , ${y_{4}}$ 軸を中心に ${\theta + \delta \theta}$ だけ回転させることにあたります。 ここに書いている ${\delta \phi}$ , ${\delta \theta}$ は微小な大きさの角です。 この変換は $\tag{5}$ 式を $\theta$ → $\theta$ $+$ $\delta$ $\theta$ , $\phi$ → $\phi$ $+$ $\delta$ $\phi$ , $\bm{x_{3}}$ → $\bm{x_{5}}$ と 書き換えた式から求まります。その事は{1}と同じ理由から分かります。 \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos (\theta + \delta \theta) \cos (\phi + \delta \phi) & \cos (\theta + \delta \theta) \sin (\phi + \delta \phi) & -\sin (\theta + \delta \theta \\ -\sin (\phi + \delta \phi) & \cos (\phi + \delta \phi) & 0 \\ \sin (\theta + \delta \theta) \cos (\phi + \delta \phi) & \sin (\theta + \delta \theta) \sin (\phi + \delta \phi) & \cos (\theta + \delta \theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{7} 　　　　　　 ここで三角関数の \sin \psi \simeq \psi,\cos \psi \simeq 1 (\psi << 1) \tag{8} という近似を用いると \cos (\psi + \delta \psi) &= \cos \psi \cos \delta \psi + \sin \psi \sin \delta \psi\\ &= \cos \psi + \delta \psi \sin \psi \tag{9}\\ \sin (\psi + \delta \psi) &= \sin \psi \sin \delta \psi - \sin \delta \psi \cos \psi\\ &= \sin \psi - \delta \psi \cos \psi \tag{10} が得られます。 ${\tag{7}}$ 式に $\tag{9}$ , $\tag{10}$ にそれぞれ ${\theta + \delta \theta}$ , ${\phi+ \delta \phi}$ を代入したものを放り込む事によって \left( \begin{array}{c} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5}\\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta\sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) \\ & +\delta \theta \left( \begin{array}{ccc} -\sin \theta \cos \phi & -\sin \theta \sin \phi & -\cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) \\ &+\delta \phi \left( \begin{array}{ccc} -\cos \theta \sin \phi & \cos \theta \cos \phi & 0 \\ -\cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) となることが分かります。更に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\tag{3}$ を代入すると \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} -r \delta \theta\\ -r \delta \phi\\ r \end{pmatrix} \tag{11} を得ます。こうして時刻 $t$ の位置 ${\bm{x}_{1}}$ を座標 ${\bm{x}_{5}}$ 上で極座標を用いて表す事ができました。 {3} 時刻tに質点は ${z_{3}}$ 上あり、時刻 ${t+ \delta t}$ に ${z_{5}}$ 上にあるので。このときの座標 ${\bm{x}_{5}}$ から見た時の速度 ${\bm{v}_{5}}$ は微分の定義から \bm{v}_{5} &= \lim_{\delta t \to 0} \frac{{\bm{x}_{5}}(t + \delta t) - \bm{x}_{5} (t)}{\delta t} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{r} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r \dot{\theta} \\ r \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} だと分かります。 ${z_{5}}$ 軸方向上に質点があるので右辺第一項は動径方向を表しています。従って動径方向成分を除いた成分が 回転にかかわる速度になるわけです。座標 ${x_{5}}$ 上では速度の回転成分 ${\bm{v}_{rot}}$ を極座標変数を用いると \bm{v}_{rot} &= r\begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} \tag{13} と表されます。この速度 ${\bm{v}_{rot}}$ は動径成分においてのみ速さ $\dot{r}$ で運動する座標系から見た場合の質点の速度と思っていただいても良いかと思います。 ----------------------------------- 2.回転速度と角速度の関係について ----------------------------------- ところでタイトルが「角速度1」なのになぜ回転速度を求めないのかと疑問に思っている人もいるのではないかと思います。 図を描けば分かるかと思いますが, ${\bm{v}_{rot}}$ の ${x_{5}}$ 成分が ${y_{5}}$ 軸周りの回転、 ${y_{5}}$ 成分が ${-x_{5}}$ 軸 周りの回転を表しています。これが冒頭で述べていたベクトルと軸性ベクトルとの違いです。 ${z_{5}}$ 軸周りの回転は自転を意味するので 大きさの無い質点の場合は定義することができません。以上のことをふまえると冒頭に書かれている定義に従えば角速度 $\bm{\omega_{5}}$ は次のようになることが分かります。 \bm{\omega_{5}} &= \begin{pmatrix} -\dot{\phi} \sin \theta\\ \dot{\theta} \\ 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_{x_{1}}\\ \omega_{y_{1}}\\ \omega_{z_{1}} \end{pmatrix} \tag{14} 最後の ${\omega_{x},\omega_{y},\omega_{z}}$ は座標 $\bm{x}$ における角速度の各成分を意味しています。気になる方は計算して 確認してみましょう。結果だけは以下に示しておきます。 \bm{\omega}_{1} &= \begin{pmatrix} \omega_{x_{1}}\\ \omega_{y_{1}}\\ \omega_{z_{1}} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \cos \phi \\ \dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \sin \phi \\ \dot{\phi} \sin^{2} \theta \end{pmatrix} \tag{15} @@author: おこめ@@ @@accept: ?@@