======================= 角速度と速度との関係 ======================= この記事は角速度と速度との関係を幾何学的に説明しています。この記事はもう一度角速度というものを、速度と比較しながら導入していきます。 2.に計算の説明をしてありますが、これは補助的なものです。内容がどうしても理解できない場合は、2.の方から読むのも良いかと思います。 この記事は、直感的には似て見える二つの概念を比較する事によって、角速度というものをもう一度しっかり理解し直す事を目標にしております。 1.回転速度と角速度の関係について ----------------------------------- .. image:: okome-angularVelocity1.png この記事では、質点の角速度についてのみ説明していることをはじめに言っておきます。 質点は時刻 $t$ に 、位置 ${\bm{x}(t)}$ にあるとします。またこの説明では ${\bm{x}(t)}$ は、座標3の ${z_{3}}$ 軸 上にあるものとしています（図1参照)。3.の方に詳しく書いていますが、座標3とは座標1を ${z_{1}}$ 軸周りに $\phi$ だけ回転し、 次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させてたものです。このときの位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標3で表すと \bm{x}_{3}(t) &= \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ r \end{pmatrix} \tag{1} になります。 $\bm{x}_{3}$ とは $\bm{x}$ の座標3での成分表示のことを意味します。以下 ${\bm{x}_{n} (n= 1,2,3,4,5)}$ についても同じ意味で使います。 なお、速度と角速度についても同じ規約に従って書いるので、そのつもりで読んでいただきたいと思います。 次に座標3の原点から見たときの速度から、動径成分を取り除いたベクトル ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は \bm{v}_{3(rot)} &= r\begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} \tag{2} と書かれます。これは座標3の原点周りの回転を表す速度ベクトルで、この値は座標原点の位置に依存する量です。 しかし今回の説明に限っては、全ての座標番号で原点は共通です。 .. image:: okome-angularVelocity2.png ところで、ここでは角速度と速度を同時に説明する必要があります。だから座標3のような軸の取り方は最適です。丁度 ${x_{3}}$ 軸は ${\theta}$ 成分、 ${y_{3}}$ 成分 が ${\phi}$ 成分の速度を意味しています。だから ${\bm{v}_{3(rot)}}$ と角速度の関係は図2を見ればすぐに分かります。 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ の ${x_{3}}$ 成分 が ${y_{3}}$ 軸周りの回転、 ${y_{3}}$ 成分が ${-x_{3}}$ 軸周りの回転を表す成分です。 ${z_{3}}$ 軸周りの回転は自転を意味するので、 大きさの無い質点の場合は定義することができません。以上のことから角速度の定義に従えば、角速度 $\bm{\omega_{3}}$ は次のようになることが分かります。 \bm{\omega}_{3} &= \begin{pmatrix} -\dot{\phi} \sin \theta\\ \dot{\theta} \\ 0 \end{pmatrix} \tag{3} この記事の内容はここまでで、全てカバーしているのでここで読み終えてもらっても構わないかと思います。 2.オイラー角を利用して速度を求めよう ----------------------------------------------- .. image:: okome-angularVelocity3.png ここでは具体的な計算を示しておきます。 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ を求める方法は次の方法が考えられます。 計算の方針 ^^^^^^^^^^^^ .. _A.: A. 時刻 $t$ の質点の位置 ${\bm{x} (t)}$ が ${z_{3}}$ 軸上にのるような位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ を、極座標変数 ${r,\theta,\phi}$ を用いて表すことを考えます。座標3上では 動径方向以外の成分はゼロになるはずです。極座標変数で表すのは、動径成分と回転成分を分離して考えるのを容易にする狙いがあります。 .. _B.: B. 時刻 ${t - \delta t}$ の質点の位置 ${\bm{x} ( t - \delta t )}$ が ${z_{5}}$ 軸上に乗るような 座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ をもとめることを考えます。 そのすぐ後に ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係式を求めることも考えます。 この関係から座標3上での速度を求めるための微小変位量が求まります。 .. _C.: C. 質点の座標3上での速度成分を求めることを考えます。そのときB.で求めた式を利用するわけです。 計算 ^^^^^ ここから「計算の方針」に従って計算を進めていきます。 `A.`_ まず時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標1で表すことにします。その式は次のようになります。 x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \tag{4}\\ y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \tag{5}\\ z_{1} &= r \cos\theta \tag{6} 次に時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ が、 ${z_{3}}$ 軸上になるような座標変換を実行します。この変換は ${z_{1}}$ 軸周りに $\phi$ だけ回転し、 次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させてた変換です(図3参照)。結果が ${z_{3}}$ 成分が $r$ でそれ以外はゼロになる事は 計算しなくても分かります。しかし本当に考えたとおりになっているのかを調べておきます。この変換は後の計算にも利用するので、 できたら読んでいただいた方が分かりやすいかと思います。具体的な計算方法は次のとおりです。 ただしここではその方法のみを示しています。 [計算方法] (ア)z軸周りに $\phi$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{7} (イ) ${y_{2}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{8} (ウ) $\tag{8}$ 式に $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式を代入 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ r \end{pmatrix} \tag{9} 以上の(ア),(イ),(ウ)の計算を実行すれば予測された結果である $\tag{9}$ 式が得られます。 これで座標3は、 ${z_{3}}$ 軸上に質点が時刻 $t$ にあるような座標になることが確かめられました。 ここでもう一つ気づかなければならない事があります。それは天下り的に与えた式 $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式は (ア),(イ),(ウ)の変換を逆にたどっていけば得られるということです。 `B.`_ 次に時刻 ${t - \delta t}$ に質点が、 ${z_{5}}$ 軸上に乗るような座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ を極座標変数を用いて書き表すことを考えます。 この座標変換は位置ベクトル ${\bm{x}_{1}}$ を $z_{1}$ を中心に ${\phi - \delta \phi}$ , ${y_{4}}$ 軸を中心に ${\theta - \delta \theta}$ だけ回転させた変換です。 ここに書いている ${\delta \phi}$ , ${\delta \theta}$ は微小な大きさの角です。 この変換は $\tag{5}$ 式を $\theta$ → $\theta$ $-$ $\delta$ $\theta$ , $\phi$ → $\phi$ $-$ $\delta$ $\phi$ , $\bm{x_{3}}$ → $\bm{x_{5}}$ と 書き換えた式から求まります。 \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta \phi) & \cos (\theta - \delta \theta) \sin (\phi - \delta \phi) & -\sin (\theta - \delta \theta) \\ -\sin (\phi - \delta \phi) & \cos (\phi - \delta \phi) & 0 \\ \sin (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta \phi) & \sin (\theta - \delta \theta) \sin (\phi - \delta \phi) & \cos (\theta + \delta \theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\tag{10} ここで三角関数の \sin (-\delta \psi) \simeq -\delta \psi,\cos (-\delta \psi) \simeq 1 (\delta \psi << 1) \tag{11} という近似を用いると \cos (\psi - \delta \psi) &= \cos \psi \cos (-\delta \psi) + \sin \psi \sin (-\delta \psi)\\ &= \cos \psi - \delta \psi \sin \psi \tag{12}\\ \sin (\psi - \delta \psi) &= \sin \psi \cos (-\delta \psi) - \sin (-\delta \psi) \cos \psi\\ &= \sin \psi + \delta \psi \cos \psi \tag{13} が得られます。ここで近似式を用いておりますが、微分を行うときにそれ以降の微小量は消えてしまうので,計算結果に影響する事はありません。 ${\tag{10}}$ 式に $\tag{12}$ , $\tag{13}$ に それぞれ ${\theta - \delta \theta}$ , ${\phi - \delta \phi}$ を代入したものを放り込む事によって \left( \begin{array}{c} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5}\\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta\sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) \\ & +r\delta \theta \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \\ -\sin \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) \\ &+r\delta \phi \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & 0 \\ \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ \sin \theta \sin \phi & -\sin \theta \cos \phi & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) となることが分かります。更に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\tag{3}$ を代入すると \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &= \bm{x}_{3} +\begin{pmatrix} r \delta \theta\\ r \delta \phi\\ 0 \end{pmatrix}\\ _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot} \bm{x}_{3} &= \bm{x}_{5} -\begin{pmatrix} r \delta \theta\\ r \delta \phi\\ 0 \end{pmatrix} \tag{14} を得ます。こうして ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係を得ることができました。 `C.`_ 時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 上あり、時刻 ${t- \delta t}$ に ${z_{5}}$ 上にあります。だからこのときの座標3から見た時の速度 ${\bm{v}_{3}}$ は、微分の定義から \bm{v}_{3} &= \lim_{\delta t \to 0} \frac{{\bm{x}_{3}}(t) - \bm{x}_{3} (t - \delta t )}{\delta t} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{r} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r \dot{\theta} \\ r \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} \tag{15} だと分かります。時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 軸方向上にあるので右辺第一項は動径方向を表しています。従って動径方向成分を除いた成分が、 座標原点から見たときの回転を表す速度成分になるわけです。座標3上での ${\bm{v}_{3(rot)}}$ を極座標変数を用いると、 ${\tag{2}}$ 式に書かれたとおりの結果に なります。この速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は、動径成分においてのみ速さ $\dot{r}$ で運動する座標系から見た場合、その座標系での質点の速度になります。 読み返してもらえば良いかと思いまが、この回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ から角速度 ${\bm{\omega}_{3}}$ は直ちにもとまります。 練習問題 ^^^^^^^^^^^ 気になる方は、 ${\bm{\omega}_{3}}$ から座標1での角速度 ${\bm{\omega}_{1}}$ を求めてください。これは角運動量の定義式から求めた角速度と一致するはずです。 ヒントと答えは以下に記しておきます。 （答え） cf.)\\ \bm{\omega}_{1} &= \begin{pmatrix} \omega_{x_{1}}\\ \omega_{y_{1}}\\ \omega_{z_{1}} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \cos \phi \\ \dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \sin \phi \\ \dot{\phi} \sin^{2} \theta \end{pmatrix} \tag{16} （ヒント）オイラー角を利用した位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ から ${\bm{x}_{1}}$ への変換と同じ操作をすれば求まります。 @@author: ???@@ @@accept: ???@@