======================= 角速度と速度との関係 ======================= この記事は角速度と速度との関係を幾何学的に説明しています。ここでは「速度」、「角速度」の似ている部分、または違う部分を 把握してもらう事が最大の目標になっております。この記事は、1.で角速度を定義し、2.の方に重要な結論を述べるという構成になっています。 補助的に計算の説明が3.に書いてあります。理解できない場合は、3.の方から読むのも良いかと思います。 1.角速度の定義 ---------------- 角速度とは「ある座標の原点から見たときの単位動径距離あたりの、速度の回転成分（以下回転速度とここでは呼ぶことにします）を持つ軸性ベクトル」のことです。 この定義を読むと何だか角速度と回転速度は随分と似ているように感じられます。確かにこの二つの概念は非常に近いものです。 しかし回転速度はベクトルです。軸性ベクトルである角速度と回転速度はやはり違う概念なのです。このあたりの違いについては、この記事を読んでもらえれば分かるかと思います。 ここで軸性ベクトルとベクトルとがどう違うのかを簡単に説明しておきます。軸性ベクトルとは軸の周りの回転成分を各軸の成分量として書いたベクトルを指しています。 また角速度の定義から分かる事ですが、角速度の次元は時間分の１( $SI$ 単位系 $[$ $sec^{-1}$ $]$ )であります。角"速度"という呼び名に惑わされた方もいるかもしれませんが、 この物理量は速度という次元を持ちません。 2.回転速度と角速度の関係について ----------------------------------- .. image:: okome-angularVelocity1.PNG この記事では質点の角速度についてのみ説明していることをはじめに言っておきます。 質点は時刻 $t$ に 位置 ${\bm{x}(t)}$ にあるとします。またこの説明では ${\bm{x}(t)}$ は、座標3の ${z_{3}}$ 軸 上にあるものとしています（図1参照)。3.の方に詳しく書いていますが、座標3とは座標1を ${z_{1}}$ 軸周りに $\phi$ だけ回転し、 次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させてたものです。このときの位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標3で表すと \bm{x}_{3}(t) &= \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ r \end{pmatrix} \tag{1} になります。 $\bm{x}_{3}$ とは $\bm{x}$ の座標3での成分表示のことを意味します。以下 ${\bm{x}_{n} (n= 1,2,3,4,5)}$ についても同じ意味で使います。 なお、角速度についても同じ規約に従って書いるので、そのつもりで読んでいただきたいと思います。 次に回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は \bm{v}_{3(rot)} &= r\begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} \tag{2} と書かれます。これに関する計算については次の節に示してあります。 .. image:: okome-angularVelocity2.PNG 速度だけ見たら極座標におけるものと変わりありません。しかしながらここでは軸性ベクトルである角速度とベクトルである回転速度を同時に説明しようとしています。 だからこの軸の取り方が最適なのです。回転速度と角速度の関係は図2を見れば分かるかと思いますが,回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ の ${x_{3}}$ 成分が ${y_{3}}$ 軸周りの回転、 ${y_{3}}$ 成分が ${-x_{3}}$ 軸 周りの回転を表しています。これが冒頭で述べていたベクトルと軸性ベクトルとの違いです。 ${z_{3}}$ 軸周りの回転は自転を意味するので、大きさの無い質点の場合は定義することができません。 以上のことから冒頭に書かれている定義に従えば、角速度 $\bm{\omega_{3}}$ は次のようになることが分かります。 \bm{\omega}_{3} &= \begin{pmatrix} -\dot{\phi} \sin \theta\\ \dot{\theta} \\ 0 \end{pmatrix} \tag{3} ここでもう気付かれたかと思いますが、回転速度の軸性ベクトル表示を動径距離 $r$ で割ったものが角速度なのです。 次の節では回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ の具体的な計算を示しています。この記事の内容はここまでで、全てカバーしているので ここで読み終えてもらっても構わないかと思います。 3.オイラー角を利用して速度の回転成分を求めよう ----------------------------------------------- .. image:: okome-angularVelocity3.PNG ここでは具体的な計算を示しておきます。回転速度を求める方法は次の方法が考えられます。 [もとめる方法] {1} 時刻 $t$ の質点の位置 ${\bm{x} (t)}$ が ${z_{3}}$ 軸上にのるような位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ を極座標変数 ${r,\theta,\phi}$ を用いて表すことを考えます。座標3上では 動径方向以外の成分はゼロになるはずです。極座標変数で表すのは動径成分と回転成分を分離させる狙いがあります。 {2} 時刻 ${t - \delta t}$ の質点の位置 ${\bm{x} ( t - \delta t )}$ が ${z_{5}}$ 軸上に乗るような 座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ をもとめることを考えます。そのすぐ後に ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係式を求めることを考えます。 {3} {2}で求めた式を用いて時間微分を行い、質点の座標3上での速度成分を求めることを考えます。 これによって速度の回転成分と動径成分がそれぞれもとまります。 ここから上に書いた方法に従って計算を進めていきます。 {1} まず時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ を座標1で表すことにします。その式は次のようになります。 x_{1} &= r \sin\theta \cos\phi \tag{4}\\ y_{1} &= r \sin\theta \sin\phi \tag{5}\\ z_{1} &= r \cos\theta \tag{6} 次に時刻 $t$ における質点の位置 ${\bm{x}(t)}$ が、 ${z_{3}}$ 軸上になるような座標変換を実行します。この変換は ${z_{1}}$ 軸周りに $\phi$ だけ回転し、 次に ${y_{1}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転させてたものです(図3参照)。結果が ${z_{3}}$ 成分が $r$ でそれ以外はゼロになる事は 計算しなくても分かります。しかし本当に考えたとおりになっているのかを調べておきます。この変換は後の計算にも利用します。 計算する方法は次のとおりです。計算は各自でやってみてください。ここではその方法のみを示しておきます。 ｛計算方法｝ [1]z軸周りに $\phi$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{7} [2] ${y_{2}}$ 軸周りに $\theta$ だけ回転 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0\\ -\sin \phi & \cos \phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix} \tag{8} [3] $\tag{8}$ 式に $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式を代入 \begin{pmatrix} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ r \end{pmatrix} \tag{9} 以上の[1],[2],[3]の計算を実行すれば予測された結果である $\tag{9}$ 式が得られます。 これで座標3は ${z_{3}}$ 軸上に質点が時刻 $t$ にあるような座標になることが確かめられました。 ここでもう一つ気づかなければならない事があります。それは天下り的に与えた式 $\tag{4}$ , $\tag{5}$ , $\tag{6}$ 式は [1],[2],[3]の変換を逆にたどっていけば得られるということです。 {2} 次に時刻 ${t - \delta t}$ に質点が、 ${z_{5}}$ 軸上に乗るような座標5上での位置ベクトル ${\bm{x}_{5}}$ を極座標変数を用いて書き表すことを考えます。 この座標変換は位置ベクトル ${\bm{x}_{1}}$ を $z_{1}$ を中心に ${\phi - \delta \phi}$ , ${y_{4}}$ 軸を中心に ${\theta - \delta \theta}$ だけ回転させた変換です。 ここに書いている ${\delta \phi}$ , ${\delta \theta}$ は微小な大きさの角です。 この変換は $\tag{5}$ 式を $\theta$ → $\theta$ $-$ $\delta$ $\theta$ , $\phi$ → $\phi$ $-$ $\delta$ $\phi$ , $\bm{x_{3}}$ → $\bm{x_{5}}$ と 書き換えた式から求まります。 \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta \phi) & \cos (\theta - \delta \theta) \sin (\phi - \delta \phi) & -\sin (\theta - \delta \theta) \\ -\sin (\phi - \delta \phi) & \cos (\phi - \delta \phi) & 0 \\ \sin (\theta - \delta \theta) \cos (\phi - \delta \phi) & \sin (\theta - \delta \theta) \sin (\phi - \delta \phi) & \cos (\theta + \delta \theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}\tag{10} ここで三角関数の \sin (-\delta \psi) \simeq -\delta \psi,\cos (-\delta \psi) \simeq 1 (\delta \psi << 1) \tag{11} という近似を用いると \cos (\psi - \delta \psi) &= \cos \psi \cos (-\delta \psi) + \sin \psi \sin (-\delta \psi)\\ &= \cos \psi - \delta \psi \sin \psi \tag{12}\\ \sin (\psi - \delta \psi) &= \sin \psi \cos (-\delta \psi) - \sin (-\delta \psi) \cos \psi\\ &= \sin \psi + \delta \psi \cos \psi \tag{13} が得られます。ここで用いた近似式は微分を行うときにそれ以降の微小量は消えてしまうので,計算結果に影響する事はありません。 ${\tag{10}}$ 式に $\tag{12}$ , $\tag{13}$ に それぞれ ${\theta - \delta \theta}$ , ${\phi - \delta \phi}$ を代入したものを放り込む事によって \left( \begin{array}{c} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5}\\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta\sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) \\ & +r\delta \theta \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ 0 & 0 & 0 \\ -\sin \theta \cos \phi & -\cos \theta \sin \phi & \sin \theta \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) \\ &+r\delta \phi \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & 0 \\ \cos \phi & \sin \phi & 0 \\ \sin \theta \sin \phi & -\sin \theta \cos \phi & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1}\\ \end{array} \right) となることが分かります。更に $\tag{1}$ , $\tag{2}$ , $\tag{3}$ を代入すると \begin{pmatrix} x_{5}\\ y_{5}\\ z_{5} \end{pmatrix} &= \bm{x}_{3} +\begin{pmatrix} r \delta \theta\\ r \delta \phi\\ 0 \end{pmatrix}\\ _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot} \bm{x}_{3} &= \bm{x}_{5} -\begin{pmatrix} r \delta \theta\\ r \delta \phi\\ 0 \end{pmatrix} \tag{14} を得ます。こうして ${\bm{x}_{3}}$ と ${\bm{x}_{5}}$ の関係を得ることができました。 {3} 時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 上あり、時刻 ${t- \delta t}$ に ${z_{5}}$ 上にあるので。このときの座標3から見た時の速度 ${\bm{v}_{3}}$ は微分の定義から \bm{v}_{3} &= \lim_{\delta t \to 0} \frac{{\bm{x}_{3}}(t) - \bm{x}_{3} (t - \delta t )}{\delta t} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{r} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r \dot{\theta} \\ r \dot{\phi} \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix} \tag{15} だと分かります。時刻 $t$ に質点は ${z_{3}}$ 軸方向上にあるので右辺第一項は動径方向を表しています。従って動径方向成分を除いた成分が 回転を表す成分になるわけです。座標5上での回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ を極座標変数を用いると、 ${\tag{2}}$ 式に書かれたとおりの結果に なります。この速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ は、動径成分においてのみ速さ $\dot{r}$ で運動する座標系から見た場合、その座標系での質点の速度になります。 読み返してもらえば良いかと思いまが、この回転速度 ${\bm{v}_{3(rot)}}$ から角速度 ${\bm{\omega}_{3}}$ は直ちにもとまります。 今後の課題 ^^^^^^^^^^^^ ここまででこの記事の説明は全て終わりました。しかしこれで満足してはいけません。 ここまでで角速度の幾何学的なイメージがつかめたかと思うので、今度は実用的に扱うにはどうすれば良いのかを考えなければなりません。 そのためには、目的に応じた最も手間のかからない計算方法を探る事を考えなければなりません。それを行うために最低憶えておいた方が良い、重要な計算結果が見えてくるかと思います。 ところでここでは速度と角速度の関係について説明してきたわけですが、当然その他の物理量との関係を考える必要もあります。 練習問題 ^^^^^^^^^^^ 座標1での角速度 ${\bm{\omega}_{1}}$ を求めてください。 ヒントと答えは以下に記しておきます。 （答え） cf.)\\ \bm{\omega}_{1} &= \begin{pmatrix} \omega_{x_{1}}\\ \omega_{y_{1}}\\ \omega_{z_{1}} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -\dot{\theta} \sin \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \cos \phi \\ \dot{\theta} \cos \phi - \dot{\phi} \sin \theta \cos \theta \sin \phi \\ \dot{\phi} \sin^{2} \theta \end{pmatrix} \tag{16} （ヒント）オイラー角を利用した位置ベクトル ${\bm{x}_{3}}$ から ${\bm{x}_{1}}$ への変換と同じ操作をすれば求まります。 @@author: おこめ@@ @@accept: ?@@