================================ 和と積分との関係(リーマン積分) ================================ 積分される物理量が発散しないかぎり、その積分によって特徴付けられる物理量は本質的にはリーマン和で定義できます。 思考的に現象を考えるときはいつも和でその物理量を考え、その極限としてリーマン積分が存在するのだと認識するのがイメージ化を簡単にします。 もちろん計算の上では色々な計算のテクニックを使いながら、積分値を求めていきます。 ところでこの記事の主題ですが、それはなめらかな関数(区分的に連続で有界な関数)の和と積分との関係について理解する事です。 ですから数学的な厳密性や実際の計算方法は別の記事に任せる事にします。 1.積分とは何だろう ----------------------- よく「微分と積分は逆演算だよ」と高校生の頃から教えられてきていると思います。まさにその通りで、物理で使うときも 多くの場合、微分の効果を期待して使っています。例えば速度が分かっているときに加速度を知りたければ微分をつかって求めます。 ではその逆の場合は何をしますか。そう、加速度を積分するのです。このセクションではまず積分をよく知っている微分との関わり を明確にします。次に和とリーマン和の違いを確認し、セクション2.で説明される規格化因子に話をつなげようと思います。 微分と積分の関係 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ まず積分が微分の逆演算であることを平均値の定理から説明していきます。 1変数関数 $F(x)$ の導関数を $f(x)$ とします。次のように変数 $x$ に番号付けをしておきます( ${\Delta_{max}}$ :分割の大きさの最大値)。 &x_{0} = a 平均値の定理より次の事が書けます。 &\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f(\xi_{i}) \tag{5}\\ &f(x_{\xi_{i}}) \Delta_{i} = F(x_{i}) - F(x_{i-1}) \tag{6} この $\tag{6}$ は $\tag{5}$ を逆に解いています。つまり逆演算です。よく見ると $\tag{6}$ 右辺は導関数の閉区間 ${[x_{i-1},x_{i}]}$ における定積分と見ることができます。 $\tag{6}$ の 両辺の和をとると次のように書けます。 \sum_{i=1}^{n} [F(x_{i}) -F(x_{i-1}))] &= [F(x_{n}) -F(x_{n-1})] +[F(x_{n-1})-F{x_{n-2}}] + \cdot\cdot\cdot + [F(x_{2}) - F(x_{1})] +[F(x_{1})-F(x_{0})]\\ &= F(x_{n}) -F(x_{0}) = F(b) - F(a) \\ \therefore \sum_{i=1}^{n} [\Delta_{i} f(\xi_{i})] = F(b) -F(a) ここで関数 ${F(x)}$ を原始関数、導関数 ${f(x)}$ を関数としてみると更に次のように書けます。 \sum_{i=1}^{n} [\Delta_{i} f(\xi_{i})] = \int_{a}^{b} dx f(x) \tag{7} これをリーマン和と呼びます。次に $\tag{5}$ の ${|\Delta| \to 0}$ の極限をとった場合を考えてみましょう。すると $\tag{5}$ 式は 微分の定義式 \lim_{|\Delta| \to 0}\frac{F(x_{i}) - F(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f(x_{i-1}) \tag{8} になり、 $\tag{6}$ 式はリーマン積分の定義式 \lim_{ |\Delta| \to 0 } \sum_{i=1}^{n} [\Delta_{i} f(x_{i-1})] = \int_{a}^{b} dx f(x) \tag{9} になります。以上の説明より $\tag{5}$ と $\tag{6}$ が逆演算である事からその極限 $\tag{8}$ と $\tag{9}$ (正確には ${\tag{6}}$ の極限、閉区間 ${[x_{i},x_{i-1}]}$ の定積分)も逆演算 であることが分かります。 和について ^^^^^^^^^^^ 積分が分かったところで、和との関係を調べてみます。 1変数関数 $f(x)$ を離散的に閉区間[a,b]まで和をとったものは次のように書けます。 &\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \tag{10} これはちょうど実験などでデータを取ったものを足し合わせたものと対応しています。 そうすると閉区間 ${[a,b]}$ の間で有限な十分に細かい分割でデータをとると \int_{a}^{b} f(x) dx \sim \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \tag{11} になるはずです。しかしながらこの和を分割の大きさ ${|\Delta | \to 0}$ の極限は存在しません。詳しい計算はセクション2.におまけとして示してあります。 次に積分を和と規格化因子の積の極値としてリーマン積分を作ります。 \lim_{ h \to 0 } \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \right] = \int_{a}^{b} dx f(x) \tag{12} ここで規格化因子 $h(n)$ は $\tag{8}$ との比較により h(n) = \frac{ \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1}) \Delta_{i} }{ \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})} \tag{13} を満たす量だと言う事が分かります。 2.規格化因子について --------------------------- 規格化因子とは、和と積分の間の差を埋めるための因子のことです。 ここではリーマン積分の規格化因子の形を求める事で、和と積分とのギャップを理解する事を目標とします。 簡単な例(三角形の面積) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ まずここでは、一方の角の大きさが $\phi$ で底辺の長さが $C$ の直角三角形の面積を例に規格化因子が正しい結果を導く事を確認します。 このとき関数 ${f(x)= x\tan \phi }$ を閉区間 $[0,C]$ の場合で考えれば良いです。簡単のために $x_{i}$ は等差数列と考えると x_{i} = |\Delta|(i-1) = \frac{C(i-1)}{n} \tag{14} になります。ここで分割の数が変わるのに対して、区間の方は決まっていることで分割の大きさ ${|\Delta|}$ が ${\frac{C}{n}}$ になるという事を補足しておきます。 $\tag{14}$ に $\tag{15}$ 式を代入すると規格化因子は h(n) &= \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}(x_{i} - x_{i-1})}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}\\ &= \frac{C}{n}\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}}\\ &= \frac{C}{n} \tag{15} になります。そして次に $x_{i}$ の和を計算すると \sum_{i=1}^{n}x_{i-1} = \frac{(n-1)(x_{n} + x_{0})}{2} = (n-1)\frac{C}{2}\tag{16} になります。すると $\tag{12}$ より三角形の面積 $S$ は次のようになるはずです。 S = \lim_{h \to 0} \left[ h(n) \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \right] &= \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{C}{n} \tan \phi (n-1)\frac{C}{2} \right]\\ &= \frac{C^{2}\tan \phi}{2} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)\\ &= \frac{CH}{2} [\because H = C \tan \phi] \tag{17} これは確かに三角形の面積の定義に一致します( $H$ : 高さ)。ためしに積分でも求めてみても \int_{0}^{C} x\tan \phi dx &= \tan \phi \left[ \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{C} \\ &= \frac{C^{2}\tan \phi}{2} = \frac{CH}{2} \\ &= S \tag{18} であり、結果は一致します。 問題の簡単化(まとめ) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 規格化因子が正しい結果を出す事を確認したので、最後に物理に応用するときに扱う性質のよい関数についてリーマン積分を定義しなおします。 三角形の面積を求める途中で分割の大きさを等しいと仮定しましたが、これはなめらかな関数ではこの定義で十分に積分を定義することができます。 そのときの積分の区間を閉区間 $[a,b]$ とすると規格化因子は $\tag{12}$ と $\tag{14}$ より h = |\Delta| =\frac{b-a}{n} \tag{19} と書くことができます。このときリーマン積分の定義式 $\tag{9}$ は次のように簡単化されます。 \lim_{|\Delta| \to 0} \left[ |\Delta| \sum_{n=1}^{n}f(x_{i-1}) \right] = \int_{a}^{b} f(x) dx \tag{20} つまりこのときのリーマン和とは普通の和に極限を持たせるための因子 ${|\Delta|}$ をかけたものと言えます。 和が極値を持つための因子(おまけ) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ おまけとして別の角度から規格化因子について考えていきます。ここでは和が極値をもつ事だけを考慮して因子の形を求めていきます。 まず関数の和の性質を知るために、和 $\tag{10}$ の $f(x_{i-1})$ を ${x_{i-1} = x_{0} + |\Delta|(i-1)}$ から ${|\Delta|(i-1)}$ で原点を中心に冪級数展開します。 関数 $f(x)$ が $l$ 回まで微分可能とすると \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) &= \sum_{i-1}^{n} \sum_{k=0}^{l} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} \right|_{x=x_{0}} |\Delta|^{k}(i-1)^{k}\\ &= \sum_{k=0}^{l} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} \right|_{x=x_{0}} |\Delta|^{k} \sum_{i=1}^{n} (i-1)^{k} \tag{21} と書けます。 ${\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{k}}$ の最大の $n$ の冪数は $(k+1)$ なので、 $\tag{19}$ から $|\Delta|$ の冪数としては ${-(k+1)}$ になります。 ${|\Delta| \to 0}$ の極限では 消えてしまう ${|\Delta|^{m} [m \ge 1]}$ 以上の項を切り捨てて、冪数 ${-1}$ の項の係数を ${C_{k}^{1}(b-a)^{k+1}}$ 、冪数 ${0}$ の項を ${C_{k}^{2}(b-a)^{k}}$ として $\tag{21}$ に代入すると \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \simeq \sum_{k=0}^{l} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} \right|_{x=x_{0}} ( C_{k}^{1}|\Delta|^{-1}(b-a)^{k+1} +C_{k}^{2}(b-a)^{k} ) \tag{22} になります。するとこの式から ${|\Delta| \to 0}$ の極限は存在しない事が分かります(発散してしまいます)。 ここで主要項である ${|\Delta|^{-1}}$ の係数を出すにはどうしたら良いのか考えるとすぐに $\tag{20}$ の両辺に ${|\Delta|}$ を かければ良いことに気付きます。これはちょうど微分の逆演算として考えたときの規格化因子の形と一致します。最後に ${\tag{20}}$ の両辺に規格化因子をかけて極限をとって おくと次のような格好になります。 \lim_{|\Delta| \to 0} \left[ |\Delta| \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \right] &= \lim_{|\Delta| \to 0} \sum_{k=0}^{l} \frac{1}{k!} \left. \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} \right|_{x=x_{0}} ( C_{k}^{1}(b-a)^{k+1} + C_{k}^{2}(b-a)^{k} |\Delta| ) \\ \therefore \int_{a}^{b}f(x)dx &= \sum_{k=0}^{l} \frac{C_{k}^{1}}{k!} \left. \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} \right|_{x=a} (b-a)^{k+1} [\because (20), x_{0} = a] \tag{23}