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経路積分とシュレーディンガー方程式
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初期の課程では、量子力学で系の振る舞いがシュレーディンガー方程式からどのように計算されるかを習ってきたかと思います。
シュレーディンガー方程式は、２階の微分方程式でありますが、問題特有の境界条件が一緒になることで、
それに対応する解法が分かります。

例えば、ポテンシャルが ${\frac{\alpha}{r}}$ でシュレーディンガー方程式が記述されるときの、
原子核のクーロン場の中での電子の運動です。

これは境界条件が「波動関数は $r$ が大きくなったときに、 ${\frac{1}{r}}$ よりも早くゼロに近づく」としたときは、
水素原子で観測される束縛状態だと、解法としてよく知っていると思います。

また境界条件として散乱に一致する( $r$ が大きくなったとき ${\frac{1}{R}}$ として振舞う）ようなときは、
シュレーディンガー方程式からラザフォードの散乱断面積の公式を導き出す事ができます。

原理として経路積分というものはありません。これはシュレーディンガー方程式の解法の１つで、
これは特定の問題においては伝統的な方法よりもすぐれています。
そして散乱問題がその種の問題に含まれています。

ただし、束縛状態の問題に関しては経路積分の方法は向きません。エネルギー準位の計算はおそろしいほど
に骨が折れます。したがって、これから扱う問題は散乱問題に限ることにします。

1.局所的な場合の核(1次元)
---------------------------
今、ポテンシャル ${V(x)}$ の1次元シュレーディンガー方程式について考えていきます。
<tex>
-\frac{1}{2m}\frac{\partial^{2} \psi(x,t)}{\partial x^{2}} + V(x)\psi(x,t) = - \frac{1}{i} \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} \tag{1.1}
</tex>
このとき、単位系として ${\hbar = c = 1}$ を用いています。今、 ${t=t_{a}}$ のとき、波動関数が次のように与えられると仮定します。
<tex>
\psi(x,t) = f(x) \tag{1.2}
</tex>
これが境界条件です。これでシュレーディンガー方程式を解くことによって他の時間における波動関数を計算する事ができます。
経路積分では、時刻 ${t_{b} \ge t_{a}}$ の時の位置を ${x_{b}}$ と習慣的に仮定します。このとき、このように定義された
関数がシュレーディンガーの解であることが示されるでしょう。

 解 ${\psi(x_{b},t_{b})}$ は核 ${K}$ によって定義されます。
<tex>
\psi(x_{b},t_{b}) = \int_{-\infty}^{\infty} dx K(x_{b},t_{b};x ,t_{a})f(x) \tag{1.3}
</tex>
もし、関数 ${f(x)}$ と核 $K$ が既知ならば、そのときは原理的に ${\psi(x_{b},t_{b})}$ を求める事ができます。
特に ${t_{b} = t_{a}}$ のとき、結果は ${x=x_{b}}$ , ${\psi(x_{b},t_{b}) = f(x)}$ でなければならないので、
これを ${\tag{1.3}}$ に代入して
<tex>
f(x_{b}) = \int_{-\infty}^{\infty} dx K(x_{b},t_{b};x,t_{a}) f(x)
</tex>
となります。ここでディラックの ${\delta}$ 関数の性質
<tex>
\int_{-\infty}^{\infty} dx \delta(x-x_{b}) f(x) = f(b)
</tex>
と比較する事によって次の事が成り立つ事が分かります。
<tex>
\left.K(x_{b},t_{b};x,t_{a})\right|_{t_{a} = t_{b}} = \delta(x-x_{b}) \tag{1.4}
</tex>
以上の計算より、時刻 ${t_{b}= t_{a}}$ のときの核 $K$ を知る事ができました。

2.一般的な場合の核の定義（1次元）
----------------------------------
一般には核は次のように定義されます。

軸に位置と時刻をとります。そして時刻を細かい刻み ${\epsilon}$ で ${n+1}$ 個に分割します。
すると ${t_{b} - t_{a} = (n+1) \epsilon}$ になります。このとき時刻を次のように番号付けします。
<tex>
&t_{0} = t_{a} < t_{1} < t_{2} < \cdot\cdot\cdot < t_{n+1} = t_{b}  \\
&t_{k} = t_{k-1} + \epsilon = t_{a} + k \epsilon \tag{1.5}
</tex>

次にこの場合におけるラグランジアンを定義します。これは常に運動エネルギーとポテンシャル・エネルギーの差で与えられます。
<tex>
L = T - V = \frac{m}{2} \dot{x}^{2} - V(x) \tag{1.6}
</tex>
もし ${x(t_{k}) = x_{k}}$ , ${x(t_{k-1} = x_{k-1})}$ としたら、良い近似で速度 ${\dot{x}_{k}}$ を
<tex>
\dot{x}_{k} = \frac{x_{k} - x_{k-1}}{t_{k} - t_{k-1}} = \frac{x_{k} - x_{k-1}}{\epsilon}
</tex>
と書くことができます。

作用 $S$ はラグランジアンを時刻 $t_{a}$ から ${t_{b}}$ まで積分することによって与えられます。
今回はこの積分を和によって近似することを考えます。一般に分割が $\tag{1.5}$ で与えられるとき解析的に
性質の良い任意の関数 $g(x)$ は次のように和で近似できます。
<tex>
\int dx g(x) \approx \sum_{k=1}^{n+1} \epsilon g(x_{k})
</tex>
同様にして作用 $S$ も次のように近似できます。
<tex>
S &\equiv \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt L \\
  &= \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \left\{ \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} - V(x) \right\} \\
  &\approx \sum_{k=1}^{n+1} \epsilon \left\{ \frac{1}{2} m \dot{x}_{k}^{2} - V(x_{k}) \right\} \\
  &\approx \sum_{k=1}^{n+1} \epsilon \left\{ \frac{1}{2} m \left( \frac{x_{k} - x_{k-1}}{\epsilon} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \tag{1.7}
</tex>
全ての時刻 $t_{k}$ における位置 $x_{k}$ が分かれば、上の式からこの作用 $S$ は計算できます。
ある1つの経路の選択とは時刻 ${t_{k}}$ の位置 ${x_{k}}$ を全てにわたって選択するということです。
ある1つの経路が時刻 $t_{a}$ に ${x_{a}}$ からスタートし、時刻 $t_{b}$ に $x_{b}$ まで移動したとします。
このときの作用は $\tag{1.7}$ から計算する事ができます。次に複数の経路についての作用について ${e^{i}}$ で掛け合わせた量
<tex>
e^{iS}
</tex>
を導入します。

上の量を精密に可能な ${\{ x_{1} , x_{2} , \cdot\cdot\cdot , x_{n} \}}$ の量について足すと
<tex>
\int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} \cdot\cdot\cdot \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^{\infty} dx_{n} e^{iS} \tag{1.8}
</tex>
になります。全ての空間についての、全ての経路をとろうとしたとき ${n \to \infty}$ ( ${\epsilon \to 0}$ )の極限では
一般的に ${\tag{1.9}}$ はゼロになってしまいます。全ての経路についての和をとるために ${\tag{1.8}}$ が
極限を持つように ${n+1}$ 個だけ因子 ${N(\epsilon)}$ をかけます。それが核の定義式
<tex>
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} \cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^{\infty}dx_{n}e^{iS} \qquad(t_{b} > t_{a}) \\
                           &= 0 \qquad(t_{b} < t_{a}) \tag{1.9}\\
                          S&= \epsilon \sum_{k=1}^{n+1}\left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} (x_{k} - x_{k-1})^{2} - V(x_{k}) \right\} \tag{1.10}
</tex>
このときの範囲と刻みは次の通りです。
<tex>
x_{0} = x_{a} ; x_{n+1} = x_{b}\\
t_{0} = t_{a} ; t_{n+1} = t_{b}\\
\epsilon = \frac{t_{b}-t_{a}}{n+1} \tag{1.11}
</tex>
この核の定義 $\tag{1.9}$ 〜 $\tag{1.11}$ を経路積分の記号 ${\int Dx}$ を使って次のように書きます。
<tex>
K(x_{b} , t_{b} ; x_{a} ,t_{a}) = \int Dx \quad e^{iS} \qquad(t_{b} > t_{a}) \tag{1.12}
</tex>

3.経路積分からシュレーディンガー方程式へ
-------------------------------------------
次に ${t_{b}}$ より少し大きな時間についての核を計算します。すなわちその時間とは ${t_{b}+\epsilon}$ と書けます。
このときの位置 $x_{n+1}$ は変数になります。あらかじめ ${x_{n+1} = x_{b}}$ に固定していましたので、新しく作用を足さなければなりません。すなわち
<tex>
\epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} (x_{n+2} - x_{x_{n+1}})^{2} - V(x_{n+2}) \right\}
</tex>
を足せば良いです。そして新しい最終地点として ${x_{n+2}}$ が加わります。この量を $x$ と呼ぶ事にします。
これと同時に因子 ${N(\epsilon)}$ も1つかけられます。するとこのときの核は次のように書かれます。
<tex>
K(x,t_{b}+\epsilon;x_{a},t_{a}) = \frac{1}{N(\epsilon)} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{n+1} \mathrm{exp} \left[ i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} (x - x_{n+1})^{2} - V(x) \right\} \right] K(x_{n+1},t_{b},x_{a},t_{a}) \tag{1.13}
</tex>
ここで、 ${x_{n+2}=x}$ と $x_{n+1}$ の間の変化量を ${-\eta}$ と定義すると
<tex>
\eta = x_{n+1} - x
</tex>
と書けます。 ${\frac{dx_{n+1}}{d\eta}}$ は
<tex>
\frac{dx_{n+1}}{d\eta} = \frac{d(x+ \eta)}{d\eta} = 1
</tex>
なので $\tag{1.13}$ は次のように書きなおせます。
<tex>
K(x,t_{b}+ \epsilon;x_{a},t_{a}) &= \frac{1}{N(\epsilon)} \int_{-\infty}^{\infty} d\eta \frac{dx_{n+1}}{d\eta}  \mathrm{exp} \left\{ \frac{im}{2\epsilon} \eta^{2} - i\epsilon V(x) \right\}K(x+ \eta,t_{b},x_{a},t_{a})\\
                                 &= \frac{1}{N(\epsilon)} \int_{-\infty}^{\infty} d\eta \mathrm{exp} \left\{ \frac{im}{2\epsilon} \eta^{2} - i\epsilon V(x) \right\}K(x+ \eta,t_{b},x_{a},t_{a}) \tag{1.14}
</tex>
この核 ${K(\eta+x,t_{b};x_{a},t_{a})}$ を $\eta$ でマクローリン展開すると
<tex>
K(\eta + x) = K(x) + \eta\frac{\partial K(x)}{\partial x} + \frac{\eta^{2}}{2} \frac{\partial^{2} K(x)}{\partial x^{2}} +\cdot\cdot\cdot \tag{1.15}
</tex>
になります。ここで次の公式
<tex>
&\int_{-\infty}^{\infty} d\eta \mathrm{exp} \left[\frac{ia}{\epsilon} \eta^{2} \right] = \sqrt{\frac{i \pi \epsilon}{a}} \qquad (a>0)\tag{1.16}\\
&\int_{-\infty}^{\infty} d\eta \eta \mathrm{exp} \left[ \frac{ia}{\epsilon} \eta^{2} \right] = 0\tag{1.17}\\
&\int_{-\infty}^{\infty} d\eta \eta^{2}\mathrm{exp} \left[ \frac{ia}{\epsilon} \eta^{2} \right] = \frac{i\epsilon}{2a} \sqrt{\frac{i \pi \epsilon}{a}}\tag{1.18}
</tex>
を使います。高次の ${\eta}$ ほど高次の ${\epsilon}$ を含みます。 ${h(\epsilon)=e^{-i\epsilon V(x)}}$ を ${\epsilon}$ でマクローリン展開すると
<tex>
e^{-i\epsilon V(x)} &=  \left.h(\epsilon)\right|_{\epsilon=0} + \epsilon \left.\frac{\partial h(\epsilon)}{\partial\epsilon}\right|_{\epsilon=0} + \cdot\cdot\cdot\\
                    &= 1 -i\epsilon V(x) + \cdot\cdot\cdot \tag{1.19}
</tex>
ここで全ての ${\epsilon^{2}}$ 以上の微小量について無視すると核は $\tag{1.14}$ は
<tex>
K(x,t_{b}+\epsilon,x_{a},t_{a}) &= \frac{1}{N(\epsilon)} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{n+1} \mathrm{exp} \left[ i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} (x - x_{n+1})^{2} - V(x) \right\} \right] K(x_{n+1},t_{b},x_{a},t_{a}) \\
                                &= \frac{1}{N(\epsilon)} \int_{-\infty}^{\infty} d\eta \mathrm{exp} \left[\frac{im\eta^{2}}{2\epsilon}\right] (1- i\epsilon V(x))\left\{ K(x) + \eta\frac{\partial K(x)}{\partial x} + \frac{\eta^{2}}{2} \frac{\partial^{2}K(x)}{\partial x^{2}} \right\}\\
                                &= \frac{(1- i \epsilon V(x))}{N(\epsilon)} K(x) \int_{-\infty}^{\infty} d\eta  \mathrm{exp} \left[\frac{im}{2\epsilon} \eta^{2} \right]\\
                                &+\frac{1- i \epsilon V(x)}{N(\epsilon)}\frac{\partial K(x)}{\partial x}  \int_{-\infty}^{\infty} d\eta \eta \mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2\epsilon} \eta^{2} \right]\\
                                &+\frac{1- i \epsilon V(x)}{N(\epsilon)}\frac{\partial^{2} K(x)}{\partial x^{2}}  \int_{-\infty}^{\infty} d\eta \frac{\eta^{2}}{2} \mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2\epsilon} \eta^{2} \right]  \qquad(\because(1.15),(1.19))\\
                                &= \frac{1-i\epsilon V(x)}{N(\epsilon)} \sqrt{\frac{2i\pi\epsilon}{m}} \left\{ K(x,t_{b};x_{a},t_{a}) + \frac{i\epsilon}{2m} \frac{\partial^{2}K(x,t_{b};x_{a},t_{a})}{\partial x^{2}} \right\} \qquad(\because (1.16)(1.17)(1.18))\qquad\tag{1.20}
</tex>
ここで近似的に
<tex>
\frac{K(x,t_{b}+\epsilon,x_{a},t_{a}) - K(x,t_{b},x_{a},t_{a}}{t_{b}+\epsilon -t_{b}} = \frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}}\\
\therefore K(x,t_{b}+\epsilon,x_{a},t_{a}) = K(x,t_{b},x_{a},t_{a}) + \epsilon \frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}} \tag{1.21}
</tex>
を得るので ${\tag{1.20}}$ から次のような関係式を得る
<tex>
K(x,t_{b},x_{a},t_{a}) + \epsilon \frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}} = \frac{1-i \epsilon V(x)}{N(\epsilon)} \sqrt{\frac{2i \pi \epsilon}{m}} \left\{  K(x,t_{b};x_{a},t_{a}) + \frac{i \epsilon}{2m} \frac{\partial^{2} K(x,t_{b};x_{a},t_{a})}{\partial x^{2}} \right\}
</tex>
ここで ${N(\epsilon)=\sqrt{\frac{2\pi\epsilon}{m}}}$ とおくと右辺の積からでる2次の微小量を無視して
<tex>
&K(x,t_{b},x_{a},t_{a}) + \epsilon \frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}} =  K(x,t_{b};x_{a},t_{a}) + \frac{i\epsilon}{2m}\frac{\partial^{2}K(x,t_{b};x_{a},t_{a})}{\partial x^{2}} -i\epsilon V(x) K(x,t_{b},x_{a},t_{a})\\
&\frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}} =  \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2} K(x,t_{b};x_{a},t_{a})}{\partial x^{2}} -iV(x) K(x,t_{b},x_{a},t_{a}) \\
&-\frac{1}{2m}\frac{\partial^{2} K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial x^{2}} + V(x)K(x,t_{b},x_{a},t_{a}) = - \frac{1}{i} \frac{\partial K(x,t_{b},x_{a},t_{a})}{\partial t_{b}}\tag{1.23}
</tex>
を得ます。これは ${t_{b}>t_{a}}$ のときに核が２次の微小量までシュレーディンガーの方程式に従うことを示しています。
もちろん ${t_{b}<t_{a}}$ の時も ${K=0}$ ( $\tag{1.9}$ )なのでシュレーディンガー方程式を満足します。
しかし ${t_{b}=t_{a}}$ のとき、シュレーディンガー方程式には従いません。すなわち核 $K$ はゼロからノンゼロへ変わります。
するとヘヴィサイトの階段関数 ${\theta(t_{b}-t_{a})}$ とある関数 ${f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})}$ を用いて
<tex>
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) &= \theta (t_{b} - t_{a}) f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) \tag{1.24}\\
       \theta(t_{b}-t_{a}) &= 1 \qquad(t_{b} > t_{a})\\
                           &= 0 \qquad(t_{b} < t_{a}) \tag{1.25}\\
       \frac{\theta(t_{b}-t_{a})}{\partial t_{b}} &= \delta(t_{b} - t_{a}) \tag{1.26}            
</tex>
と書くことができます。関数 ${f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})}$ がシュレーディンガーの解ならば、このとき ${x=x_{b}}$ である事に注意して
<tex>
\left( \frac{\partial}{\partial t_{b}} +iV - \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} \right) f = 0 \tag{1.27}
</tex>
と書けます。すると核 $K$ は次のように書けます。
<tex>
&\left( \frac{\partial}{\partial t_{b}} +iV - \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} \right) K \\
&= \left( \frac{\partial}{\partial t_{b}} +iV - \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} \right)\theta(t_{b}-t_{a})t(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\\
&= f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) \frac{\partial \theta(t_{b}-t_{a})}{\partial t_{b}}\theta(t_{b} - t_{a})\left( \frac{\partial}{\partial t_{b}} +iV - \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} \right)f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\\
&= f(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\delta(x_{b}-x_{a}) \qquad(\because (1.26),(1.27)) \tag{1.28}
</tex>
この式から核は ${t_{a} \neq t_{b}}$ ではゼロ（シュレーディンガー方程式に従う）で、 ${t_{a} = t_{b}}$ のときのみゼロでない事が分かります。ここで ${t_{b} = t_{a}}$ を満足するとき $\tag{1.4}$ から ${K=\delta(x_{b} - x_{a})}$ が得られるので
<tex>
&\left( \frac{\partial}{\partial t_{b}} +iV - \frac{i}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} \right) K  = \delta(x_{b} - x_{a}) \delta(x_{b}-x_{a}) \tag{1.29}
</tex>
が得られます。

以上の説明から $\tag{1.8}$ は核（波動方程式ではない）を定義し、 $\tag{1.3}$ が波動方程式の時間発展を記述している事が分かります。
ここでは散乱過程の物理的な構想を説明して終わりにします。
粒子はポテンシャル源から離れたとき、自由であると仮定することができます。だから ${t_{a} = - \infty}$ のとき粒子は自由だと分かります。


束縛状態のとき、初期条件はどこにも与える事ができません。
この種の問題は $\tag{1.3}$ を利用する事によって $f(x)$ を、系の状態は初めから最後まで同じであると考えて同様に関数の結果を導く事ができます。
これは調和振動子くらいの単純なものでも、実に解くのが難しい固有値問題になります。