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経路積分とシュレーディンガー方程式
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初期の課程では、量子力学で系の振る舞いがシュレーディンガー方程式からどのように計算されるかを習ってきたかと思います。
シュレーディンガー方程式は、２階の微分方程式であるとともに、物質を見出す可能性を示す適切な境界条件も記述しています。

例えば、ポテンシャルが ${\frac{\alpha}{r}}$ でシュレーディンガー方程式が記述されるときの、
原子核のクーロン場の中での電子の運動です。

これは境界条件が「波動関数は ${\frac{1}{R}}$ よりも早くゼロに近づく」としたときは、
水素原子で観測される束縛状態だと、解法としてよく知っていると思います。

また境界条件として散乱に一致する( ${\frac{1}{R}}$ として振舞う）ようなときは、
シュレーディンガー方程式からラザフォードの散乱断面積の公式を導き出す事ができます。

原理として経路積分というものはありませんが、これはシュレーディンガー方程式の解法の１つです。
経路積分による方法は特定の問題においては伝統的な方法よりも、すぐれています。
そして散乱問題がその種の問題に含まれています。

ただし、束縛状態の問題に関しては経路積分の方法は向きません。エネルギー準位の計算はおそろしいほど
に骨が折れます。したがって、これから扱う問題は散乱問題に限ることにします。

1次元のシュレーディンガー方程式
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今、ポテンシャル ${V(x)}$ の1次元シュレーディンガー方程式について考えていきます。