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Bethe-Salpeter type equation（経路積分）
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memo　導出のみ

Kernelの定義（再掲）
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<tex>
&K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} (iS) \qquad(t_{b} > t_{a},\qquad K=0 \qquad if\quad t_{b} < t_{a}) \tag{1}\\
&S(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \epsilon \sum_{k=1}^{n+1} \left[ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right]  \tag{2}\\
&N(\epsilon) = \sqrt{\frac{2i\pi\epsilon}{m}} \tag{3}\\
&\epsilon = \frac{t_{b} - t_{a}}{n+1} \tag{4}
</tex>
式 $\tag{1}$ に式 $\tag{2}$ を代入して
<tex>
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})  &=  \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right]  \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right]   \\
                            &(t_{b} > t_{a}, \qquad K=0 \qquad if\qquad t_{b} < t_{a}) \tag{5}
</tex>
とまとめることができます。または ${x_{c} = x_{i}}$ とすると $\tag{5}$ より
<tex>
&K(x_{b},t_{b};x_{c},t_{c})  =  \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{i} \prod_{k=1}^{i-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right]  \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{i} - x_{i-1} \right)^{2} - V(x_{i}) \right\} \right]  \\
&K(x_{c},t_{c};x_{a},t_{a})  =  \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n-i+1} \prod_{k=i+1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right]  \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right]  \\
&\therefore K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \int_{-\infty}^{\infty} dx_{c} K(x_{b},t_{b};x_{c},t_{c})K(x_{c},t_{c};x_{a},t_{a}) \tag{6}
</tex>
また、Kenelの摂動及び0次のKernel ${K_{0}}$ と作用 ${S_{0}}$ は次の通りです。
<tex>
&K(x_{b},t_{b};x_{a},t{a}) =  \left(\frac{1}{N} \right)^{n+1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-i)^{k}}{k!} \prod_{s=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} e^{iS_{0}}\left( \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt V(x)\right)^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}K_{k} \tag{7}\\
&K_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \left( \frac{1}{N}\right)^{n+1} \prod_{s=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} \mathrm{exp} \left[ i \sum_{k=j+1}^{n+1} \frac{m}{2\epsilon} (x_{k} - x_{k-1})^{2} \right] \tag{8-1}\\
&= \frac{1}{(2\pi)^{2} i} \int_{-\infty}^{\infty} dp \int_{-\infty}^{\infty}dE \frac{\mathrm{exp} \left[ i \left\{px - E t \right\} \right]}{-E + \frac{p^{2}}{2m} - i \epsilon}  \tag{8-2}\\
&S_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{m}{2\epsilon}(x_{k} - x_{k-1})^{2} \tag{9}
</tex>

Kernelの摂動(n次）
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まず、1次の摂動から求めていきます。 $\tag{7}$ より ${K_{1}}$ は次のように書けます。
<tex>
K_{1} &= -i \left( \frac{1}{N}\right)^{n+1} \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \prod_{s=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} e^{iS_{0}}V(x)\\
      &= -i \left( \frac{1}{N}\right)^{n+1} \epsilon \sum_{j=1}^{n+1}  \prod_{s=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} \mathrm{exp}\left[ i\sum_{k=1}^{n+1} \frac{m}{2\epsilon}(x_{k}-x_{k-1})^{2}\right]\\
      &= -i \sum_{j=1}^{n+1}\epsilon \int_{-\infty}^{\infty}dx_{j} \left\{ \left(\frac{1}{N}\right)^{n-j+1} \prod_{s=j+1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{s}\mathrm{exp} \left[ i \sum_{k=j+1}^{n+1} \frac{m}{2\epsilon} (x_{k} - x_{k-1})^{2} \right]\right\}\\
      &\cdot V(x_{j},t_{j}) \left\{ \left(\frac{1}{N}\right)^{j} \prod_{s=1}^{j-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} \mathrm{exp} \left[ i \sum_{k=1}^{j} \frac{m}{2\epsilon} (x_{k} - x_{k-1})^{2} \right]\right\} \\
      &= -i \sum_{j=1}^{n+1}\epsilon \int_{-\infty}^{\infty}dx_{j} K_{0}(x_{b},t_{b};x_{j},t_{j})V(x_{j},t_{j}) K_{0}(x_{j},t{j},x_{a},t_{a}) \qquad(\because (8-1))\\
      &= -i \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{0}(x_{b},t_{b};x,t)V(x,t)K_{0}(x,t;x_{a},t_{a}) \qquad(\because x_{j}=x \quad t_{j} = t)
</tex>
ここで、次の事を約束しておきます。

1. 初期時刻における位相 ${S_{0}^{0} = \left.S\right|_{t =t_{a}}}$ よりも小さな位相の値を持つ ${K(x,t;x_{a},t_{a})}$ はゼロ。
2. ${K(x_{b},t_{b},x,t)=0 \qquad(t_{b} < t)}$ ,  ${K(x,t,x_{a},t_{a})=0 \qquad(t_{a} > t)}$ 

こうすることで、時間積分の範囲を ${-\infty \le t \le \infty}$ にすることができて2次以降の摂動を統一的に計算できます。
この約束事を反映させた ${K_{1}}$ は
<tex>
K_{1}  = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{0}(x_{b},t_{b};x,t)V(x,t)K_{0}(x,t;x_{a},t_{a}) \tag{10}
</tex>
になります。
次の2次の摂動 ${K_{2}}$ も $\tag{7}$ より
<tex>
K_{2} = \frac{(-i)^{2}}{2!} \left( \frac{1}{N}\right)^{n+1} \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt^{\prime} \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \prod_{s=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} dx_{s} e^{iS_{0}}V(x,t)V(x^{\prime},t^{\prime}) \tag{11}
</tex>
と書けます。ここで上に書いた約束 2. よりポテンシャルに関する時間積分は次のように書けます。
<tex>
\int_{t_{a}}^{t_{b}} dt V(t)\int_{t_{a}}^{t_{b}} dt^{\prime}V(t^{\prime}) &= \int_{-\infty}^{\infty} dt int_{-\infty}^{\infty} dt^{\prime} \theta(t - t^{\prime}) \qquad a \quad case \quad of\quad t < t^{\prime} \\
                                                                          &+\int_{-\infty}^{\infty} dt int_{-\infty}^{\infty} dt^{\prime} \theta(t^{\prime} - t) \qquad a \quad case \quad of \quad t > t^{\prime} \\
                                                                          &= 2! \int_{-\infty}^{\infty} dt_{1}dt_{2} \theta(t_{1} - t_{2}) V(t_{1}) V(t_{2}) \qquad (\because t_{2} > t_{1}) \tag{12}
</tex>
この頭についた因子は時間積分の大きさの順序の数を表しています。したがって一般にn次の摂動では次のように書けます。
<tex>
\prod_{k=1}^{n}\int_{t_{a}}^{t_{b}} dt_{k}V(t_{k}) = n! \int_{-\infty}^{\infty}dt_{1}V(t_{1}) \prod_{k=2}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dt_{k} \theta(t_{k-1} - t_{k}) V(t_{k}) \tag{13}
</tex>
まず考えていた2次の摂動を ${\tag{11}}$ に $\tag{12}$ を代入した後、１次の摂動と同様に式変形することによって次のような結果を得ます。
<tex>
K_{2} &= (-i)^{2} \int_{-\infty}^{\infty} dt_{1} \int_{-\infty}^{\infty} dt_{2} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{2}K_{0}(x_{b},t_{b};x_{2},t_{2}) V(x_{2},t_{2})K_{0}(x_{2},t_{2},x_{1},t_{1}) \\
      &\cdot V(x_{1},t_{1}) K_{0}(x_{1},t_{1};x_{a},t_{a}) \qquad(t_{b}>t_{2}>t_{1}>t_{a})\\
      &= 0 \qquad (the \quad other)\tag{14}
</tex>
ここで、 ${\tag{10}}$ の ${x_{a} \to x_{2}}$ , ${t_{a} \to t_{2}}$ , ${x \to x_{1}}$ , ${t \to t_{1}}$ とした式を $\tag{14}$ を代入して
<tex>
K_{2} &= -i  \int_{-\infty}^{\infty} dt_{2}  \int_{-\infty}^{\infty} dx_{2} \left[ -i \int_{-\infty}^{\infty} dt_{1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} K_{0}(x_{b},t_{b};x_{1},t_{1})V(x_{1},t_{1})K_{0}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})\right]\\
      &\cdot V(x_{2},t_{2}) K_{0}(x_{2},x_{2};t_{a},t_{a})\\
      &= -i  \int_{-\infty}^{\infty} dt_{2}  \int_{-\infty}^{\infty} dx_{2} K_{1}(x_{b},t_{b};x_{2},t_{2})V(x_{2},t_{2}) K_{0}(x_{2},t_{2};x_{a},t_{a}) \\
      &= -i  \int_{-\infty}^{\infty} dt  \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{1}(x_{b},t_{b};x,t)V(x,t) K_{0}(x,t;x_{a},t_{a}) \tag{15}
</tex>
と書くことができます。この繰り返しによってn次の摂動 ${K_{n}}$ はもとまります。冪級数展開の因子と $\tag{13}$ であられる因子は打ち消しあうので
<tex>
K_{n} = -i \int_{-\infty}^{\infty} dt  \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{n-1}(x_{b},t_{b};t,t)V(x,t) K_{0}(x,t;x_{a},t_{a}) \qquad(n=1,2,3\cdot\cdot\cdot )\tag{16}
</tex>
と書けます。以上の段階を踏んでn次の摂動を求める事ができました。

Bethe-Salpeter type equation
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式 $\tag{7}$ にn次の摂動 $\tag{16}$ を代入する事によって次の式を得ます。
<tex>
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) &= K_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) -i \sum_{n=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}dt \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{n} (x_{b},t_{b};x,t)V(x,t)K_{0}(x,t;x_{a},t_{a})\\
                           &= K_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) -i \int_{-\infty}^{\infty}dt \int_{-\infty}^{\infty} dx\sum_{n=0}^{\infty}K_{n} (x_{b},t_{b};x,t)V(x,t)K_{0}(x,t;x_{a},t_{a})\\
                           &= K_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) -i \int_{-\infty}^{\infty}dt \int_{-\infty}^{\infty} dx K(x_{b},t_{b};x,t)V(x,t)K_{0}(x,t;x_{a},t_{a}) \qquad(\because(7) ) \tag{17}
</tex>
この式の事を "Bethe-Salpeter type equation" と呼びます。