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自由粒子（経路積分）
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memo
Kernelの定義（再掲）
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&K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} (iS) \qquad(t_{b} > t_{a},\qquad K=0 \qquad if\quad t_{b} < t_{a}) \tag{1}\\
&S(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \epsilon \sum_{k=1}^{n+1} \left[ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right] \tag{2}\\
&N(\epsilon) = \sqrt{\frac{2i\pi\epsilon}{m}} \tag{3}\\
&\epsilon = \frac{t_{b} - t_{a}}{n+1} \tag{4}
式 $\tag{1}$ に式 $\tag{2}$ を代入して
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) &= \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right] \\
&(t_{b} > t_{a}, \qquad K=0 \qquad if\qquad t_{b} < t_{a}) \tag{5}
とまとめることができます。または ${x_{c} = x_{i}}$ とすると $\tag{5}$ より
&K(x_{b},t_{b};x_{c},t_{c}) = \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{i} \prod_{k=1}^{i-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{i} - x_{i-1} \right)^{2} - V(x_{i}) \right\} \right] \\
&K(x_{c},t_{c};x_{a},t_{a}) = \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n-i+1} \prod_{k=i+1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right] \\
&\therefore K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \int_{-\infty}^{\infty} dx_{c} K(x_{b},t_{b};x_{c},t_{c})K(x_{c},t_{c};x_{a},t_{a}) \tag{6}
確率保存の法則
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確率保存の法則をシュレーディンガーの形式から経路積分の形式に直した場合、どのような形になるのか調べてみたいと思います。
まず初期時刻 ${t_{a}}$ のときの波動関数 ${\psi (x_{a},t_{a}) = f(x_{a})}$ と書くことにします。そしてKernelは波動関数の
発展の仕方を記述するので終端時刻 ${t_{b}}$ の波動関数 ${\psi (x_{b},t_{b})}$ は次のように書き表すことができます。
\psi (x_{b},t_{b}) = \int_{-\infty}^{\infty} dx_{a} K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) f(x_{a})
時間に依らず、確率が保存することを要求します。すると
(\clubsuit) = \int_{-\infty}^{\infty} dx_{d} K^{*}(x ,t_{a};x_{d},t_{d})K(x_{d},t_{d};y,t_{a}) = \delta (x-y) \tag{11}
が確率保存の法則が経路積分でも成立するための必要条件になります。これをここではKernelの定義から、
この式を出すことによって十分条件でもあることを示したいと思います。
Kernelの逆関数
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Kernelの逆関数は過去への時間発展を記述します。
もう少し、誤解の無い言い方をすればKernelの逆関数は作用を打ち消すような働きをします。
&\left[ K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) \right]^{-1} \sim \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left\{ iS(x_{a},t_{a};x_{b},t_{b}) \right\} \qquad(t_{a} > t_{b},\qquad K=0 \qquad if\qquad t_{a} < t_{b}) \tag{7}\\
&S(x_{a},t_{a};x_{b},t_{b}) = - \epsilon \sum_{k=1}^{n+1} \left[ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right] \tag{8}
規格化も考慮に入れると式 $\tag{1}$ の複素共役に等くなります。
\left[ K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) \right]^{-1} &= \left[K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) \right]^{*} \\
&= \left( \left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot \mathrm{exp} \left[i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right] \right)^{*} \\
&= \left( \frac{1}{N^{*}(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[-i \epsilon \left\{ \frac{m}{ 2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot \mathrm{exp} \left[-i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N^{*}(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left\{ -i\epsilon S(x_{a},t_{a};x_{b},t_{b}) \right\} \qquad(t_{b} > t_{a}, \qquad K=0 \qquad if\qquad t_{b} < t_{a}) \tag{9}
整理して次のように書くと約束しましょう。
K^{*}(x_{a},t_{a};x_{b},t_{b}) = \left( \frac{1}{N^{*}(\epsilon)}\right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[-i\epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[-i \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{n+1}) \right\} \right] \tag{10}
証明???
^^^^^^^^^
(\clubsuit) = \int_{-\infty}^{\infty} dx_{d} K^{*}(x ,t_{a};x_{d},t_{d})K(x_{d},t_{d};y,t_{a}) = \delta (x-y) \tag{11}
を示します。ただし ${x_{d} = x_{j} = x_{j}^{\prime}}$ , ${x_{0} = x}$ , ${x_{0}^{\prime} = y}$ とします。すると ${\tag{1}}$ の ${x_{b} \to x_{d}}$ , $\tag{9}$ の ${x_{b} \to x_{d}}$ とした式から
直ちに次のように示す事ができます。
(\clubsuit) &= \left( \frac{1}{N^{*}(\epsilon)}\right)^{j} \prod_{k=1}^{j-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[-i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k} - x_{k-1} \right)^{2} - V(x_{k}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[-i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{n+1} - x_{n} \right)^{2} - V(x_{j}) \right\} \right] \\
&\cdot\left( \frac{1}{N(\epsilon)}\right)^{j} \prod_{k =1}^{j-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k}^{\prime} \mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{k}^{\prime} - x_{k-1}^{\prime} \right)^{2} - V(x_{k}^{\prime}) \right\} \right] \cdot\mathrm{exp} \left[i \epsilon \left\{ \frac{m}{2\epsilon^{2}} \left( x_{j}^{\prime} - x_{j-1}^{\prime} \right)^{2} - V(x_{j}^{\prime}) \right\} \right] \\
&=\left( \frac{1}{N^{*}(\epsilon)N(\epsilon)} \right)^{j} \prod_{k = 1}^{j-1} \int_{- \infty}^{\infty} dx_{k} dx_{k}^{\prime}
\mathrm{exp} \left( -i \epsilon \left[ \frac{m}{2 {\epsilon}^{2}} \left\{ \left( x_{k}^{2} - x_{k}^{\prime 2} \right) + 2 \left( x_{k}^{\prime}x_{k-1}^{\prime} - x_{k}x_{k-1} \right) + \left( x_{k-1}^{2} - x_{k-1}^{2} \right) \right\} - \left\{ V(x_{k}) - V(x_{k}^{\prime}) \right\} \right] \right)\\
&\cdot \int_{-\infty}^{\infty} dx_{d} \mathrm{exp} \left[ -\frac{im}{\epsilon} (x_{j-1}^{\prime} - x_{j-1})x_{d} \right] \qquad ( \because x_{j} = x_{j}^{\prime} = x_{d} ) \\
&= \left( \frac{m}{2\pi\epsilon} \right)^{j}\prod_{k = 1}^{j-1} \int_{- \infty}^{\infty} dx_{k} dx_{k}^{\prime}
\mathrm{exp} \left( -i \epsilon \left[ \frac{m}{2 {\epsilon}^{2}} \left\{ \left( x_{k}^{2} - x_{k}^{\prime 2} \right) + 2 \left( x_{k}^{\prime}x_{k-1}^{\prime} - x_{k}x_{k-1} \right) + \left( x_{k-1}^{2} - x_{k-1}^{2} \right) \right\} - \left\{ V(x_{k}) - V(x_{k}^{\prime}) \right\} \right] \right)\\
&\cdot \frac{2\pi \epsilon}{m} \delta (x_{j-1}^{\prime} - x_{j-1})\\
&= \left( \frac{m}{2\pi\epsilon} \right)^{j-s}\prod_{k = 1}^{j-s} \int_{- \infty}^{\infty} dx_{k} dx_{k}^{\prime}
\mathrm{exp} \left( -i \epsilon \left[ \frac{m}{2 {\epsilon}^{2}} \left\{ \left( x_{k}^{2} - x_{k}^{\prime 2} \right) + 2 \left( x_{k}^{\prime}x_{k-1}^{\prime} - x_{k}x_{k-1} \right) + \left( x_{k-1}^{2} - x_{k-1}^{2} \right) \right\} - \left\{ V(x_{k}) - V(x_{k}^{\prime}) \right\} \right] \right) \\
&\cdot \delta ( x_{j-s}^{\prime} - x_{j-s}) \\
&=\frac{m}{2 \pi \epsilon} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{1} \mathrm{exp}\left[-\frac{im}{\epsilon} (x_{0}^{\prime} - x_{0})x_{1} \right] \\
&=\frac{m}{2\pi\epsilon} \frac{2\pi\epsilon}{m} \delta ( x_{0}^{\prime} - x_{0}) \\
&= \delta(y-x) = \delta(x-y) \qquad(\because x_{0}=x, x_{0}^{\prime} = y)\tag{12}
以上より $\tag{11}$ が示されました。ただしここで次の式を公式として使っています。
\delta (x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(anx)}{x} = \frac{\pi}{a} \delta(x) \tag{13}
次にこれを使って次の量を求める事ができます。
K(x_{c},t_{a};x_{a},t_{a}) &= \lim_{t_{c} \to t_{a}} K(x_{c},t_{c};x_{a},t_{a})\\
&= \lim_{t_{c} \to t_{a}}\int_{-\infty}^{\infty}dx_{d} K^{*}(x_{c},t_{c};x_{d},t_{d})K(x_{d},t_{d};x_{a},t_{a}) \qquad(\because (6))\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}dx_{d} K^{*}(x_{c},t_{a};x_{d},t_{d})K(x_{d},t_{d};x_{a},t_{a})\\
&= \delta (x_{c} - x_{a}) \qquad(\because (11) ; x = x_{c}, y = x_{a}) \tag{12}
Kernelの摂動（0次）
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次にポテンシャル ${V(x)}$ におけるKernelの摂動の0次のオーダーを求めたいと思います。これは自由粒子の運動のKernelに等しいのです。
それは ${e^{iS}}$ を ${ \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt {V(x)} }$ の原点まわりでテイラー展開すれば
\mathrm{exp}\left[ iS(x_{b},t{b};x_{a},t_{a})\right] &= \mathrm{exp} \left[i \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \frac{m}{2}\dot{x}^{2} -V(x) \right] \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left.\frac{d^{k}}{dV^{k}}e^{iS} \right|_{\int dt V=0} \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt V(x)^{k}\\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-i)^{k}}{k!} e^{iS_{0}}\left\{ \int_{t_{a}}^{t_{b}}V(x)\right\}^{k} \qquad(\because S_{0} = \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \frac{m}{2}\dot{x}^{2}) \tag{13}
で、0次での作用は ${S_{0}}$ は自由粒子の作用に等しいからです。Kernel[式 $\tag{5}$ ]に代入すると
K(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) &= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp} \left[ i \int_{t_{a}}^{t_{b}} dt \left\{ \frac{m}{2} \dot{x}^{2} - V(x) \right\} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} e^{ iS_{0}} \left\{ 1 + (-i) \frac{1}{1!}V(x) +(-i)^{2} \frac{1}{2!}V(x)^{2} + \cdot\cdot\cdot\right\}\\
&= K_{0} + K_{1} + K_{2} + K_{3} + \cdot\cdot\cdot \tag{14}
です。まず、0次の自由粒子に等しいKernel ${K_{0}}$ を計算したいと思います。Kernel ${K_{0}}$ は ${\tag{5}}$ に ${V(x) = 0}$ を代入した
K_{0}(x_{b},t_{b},x_{a},t_{a}) = \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp}\left[i\epsilon \frac{m}{2\epsilon^{2}} (x_{k}-x_{k-1})^{2} \right]\cdot\mathrm{exp} \left[i\epsilon\frac{m}{2\epsilon^{2}}(x_{n+1}-x_{n})^{2} \right] \tag{15}
に等しい。 ${x_{k}\qquad(k>s)}$ の変化率は ${x_{s}}$ には依らないので、 ${x_{n+1}}$ は固定されているので ${x_{n}}$ から順に平方完成
したものを積分すれば計算可能です。このとき使う積分公式はガウス積分と呼ばれます。これを公式として与えておきます。
\int_{-\infty}^{\infty} d\eta \qquad \mathrm{exp} \left[ -ia\eta^{2}\right] =\sqrt{\frac{i\pi}{a}} \qquad(a \in \Re)\tag{16}
では平方完成の一般式を求めていこうと思います。まず次の式
\sum_{k=1}^{n+1} (x_{k}-x_{k-1})^{2} &= \sum_{k=1}^{n+1}\left[ x_{k}^{2} -2x_{k}x_{k-1} +x_{k-1}^{2} \right]\\
&= \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} -2 \sum_{k=1}^{n+1} x_{k}x_{k-1} + \sum_{l=1}^{n} x_{k-1}^{2} x_{n+1}^{2} +x_{0}^{2} \qquad(\because l = k+1 )\\
&= 2\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} -2 \sum_{k=1}^{n+1} x_{k}x_{k-1} +x_{b}^{2} + x_{a}^{2} \qquad(x_{n+1} = x_{b} , x_{0} = x_{a})\\ \tag{17}
を平方完成の一般式を求めるために漸化式を作ります。そのために $\tag{17}$ を平方完成させた一般に式を右辺に書けます。
2\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} -2 \sum_{k=1}^{n+1} x_{k}x_{k-1} +x_{b}^{2} + x_{a}^{2} &= \sum_{k=1}^{n} A_{k} \left\{ x_{k} + B_{k}\left(x_{b} + C_{k}x_{k-1}\right) \right\}^{2} \\
&- x_{b}^{2} \sum_{k=1}^{n}A_{k}B_{k}^{2} -2A_{1}B_{1}C_{1}x_{b}x_{a} - A_{1}B_{1}^{2}C_{1}^{2} +x_{b}^{2} + x_{a}^{2} \\
&= \sum_{k=1}^{n} A_{k}x_{k}^{2} + 2x_{b}\sum_{k=1}^{n} A_{k}B_{k}x_{k} + 2\sum_{k=1}^{n} A_{k}B_{k}C_{k}x_{k-1}x_{k} +x_{b}^{2}\sum_{k=1}^{n} A_{k}B_{k}^{2} \\
&+ 2x_{b}\sum_{k=1}^{n} A_{k}B_{k}^{2}C_{k}x_{k-1} + \sum_{k=1}^{n} A_{k}B_{k}^{2}C_{k}^{2} x_{k-1}^{2}\\
&- x_{b}^{2} \sum_{k=1}^{n}A_{k}B_{k}^{2} -2A_{1}B_{1}C_{1}x_{b}x_{a} - A_{1}B_{1}^{2}C_{1}^{2} +x_{b}^{2} + x_{a}^{2} \tag{18}
両辺を比較すると次のような関係式が得られます
&A_{k-1} + A_{k}B_{k}^{2}C_{k}^{2} = 2 \tag{19-1} \\
&A_{k-1} B_{k-1} = A_{k}B_{k}^{2}C_{k} \tag{20-1} \\
&A_{k}B_{k}C_{k} = -1 \tag{21}
式 $\tag{21}$ を使って少し整理しておくと
&A_{k-1} - B_{k}C_{k} = 2 \tag{19-2}\\
&1 = B_{k}C_{k-1} \tag{20-2}
と書けます。 $\tag{19-2}$ の両辺に ${A_{k}}$ をかけることで ${A_{k}}$ における漸化式を得ます。
&A_{k}A_{k-1} - A_{k}B_{k}C^{k} = 2A_{k}\\
&A_{k}A_{k-1} + 1 = 2A_{k} \qquad(\because (21))\\
&\therefore A_{k-1} = 2 - \frac{1}{A_{k}} \tag{22}
次に式 $\tag{19-2}$ と $\tag{20-2}$ と $\tag{22}$ から ${C_{k}}$ についての漸化式
&A_{k-1} - B_{k}C_{k} = 2 \\
&B_{k}C_{k} = 2 - A_{k-1}\\
&B_{k}C_{k-1}\frac{C_{k}}{C_{k-1}} = 2 - A_{k-1}\\
&\frac{C_{k}}{C_{k-1}} = 2 - \left( 2 - \frac{1}{A_{k}} \right) \qquad(\because(20-2),(22))\\
&\therefore C_{k-1} = C_{k}A_{k} \tag{23}
を得ます。最後、 $B_{k}$ に関する漸化式は、 $\tag{19-2}$ と $\tag{20-2}$ を変形した
&B_{k}C_{k} = A_{k-1} -2 \tag{19-3}\\
&B_{k+1}C_{k} = 1 \tag{20-3}
の ${\frac{(19-3)}{(20-3)}}$ から得ます。
&B_{k} = B_{k+1} \left( A_{k-1} - 2 \right)\\
&\therefore B_{k-1} = -\frac{B_{k}}{A_{k-1}} \qquad(\because (22)) \tag{24}
これだけでは、一般式を求める事はできないのでここで、 ${x_{n}}$ についての平方完成
2x_{n}^{2} -2(x_{b} + x_{n-1})x_{n} = 2\left\{x_{n} - \frac{1}{2}(x_{b} + x_{n-1}) \right\}^{2} - \frac{(x_{b} + x_{n-1})^{2}}{2}
より ${A_{n}}$ , ${B_{n}}$ , ${C_{n}}$ が分かります。ここで改めて漸化式もここに書いておくと、次のようにまとめることができます。
&A_{n} = 2 \qquad B_{n} = - \frac{1}{2} \qquad C_{n} = 1 \tag{25}\\
&A_{k-1} = 2 - \frac{1}{A_{k}} \tag{22}\\
&B_{k-1} = \frac{B_{k}}{A_{k-1}} \tag{24}\\
&C_{k-1} = C_{k}A_{k} \tag{23}
漸化式 $\tag{22}$ に ${A_{n}}$ を代入していくと $A_{n}$ についての一般式
&A_{n-1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\\
&A_{n-2} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\\
&A_{n-3} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\\
&\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\
&A_{n-s} = 2 - \frac{s}{s+1} = \frac{s+2}{s+1}\\
&\therefore A_{k} = \frac{n-k+2}{n-k+1} \qquad(\because k = n-s) \tag{26}
が得られます。他の係数についても $\tag{25}$ をもとに、得ることができます。
&B_{n-1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{-1}{2} = -\frac{1}{4}\\
&B_{n-2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{-1}{3} = - \frac{1}{4}\\
&B_{n-3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{-1}{4} = - \frac{1}{5}\\
&\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\
&B_{n-s} = -\frac{1}{s+2} \\
&\therefore B_{k} = - \frac{1}{n-k+2} \tag{27}\\
&C_{n-1} = 2 \cdot 1 = 2\\
&C_{n-2} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3\\
&C_{n-3} = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4\\
&\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\\
&C_{n-s} = s+1 \\
&\therefore C_{k} = n-k+1 \tag{28}
式 $\tag{18}$ に $\tag{26}$ , $\tag{27}$ , $\tag{28}$ を代入して
\sum_{k=1}^{n+1} (x_{k}-x_{k-1})^{2} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2}\\
&- \frac{2}{n+1}x_{b}x_{a} - \frac{n}{n+1}x_{a}^{2} + x_{b}^{2} + x_{a}^{2} - x_{b}^{2}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n-k+1)(n-k+2)} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2}\\
&+\frac{1}{n+1}x_{a}^{2} - 2 \frac{1}{n+1}x_{a}x_{b} + \left( 1 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n-k+1)(n-K+2)} \right) x_{b}^{2} \tag{29}
を得ます。ここで最後の項の中にある和について計算します。
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n-k+1)(n-k+2)} &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{n-k+1} - \frac{1}{n-k+2} \right)\\
&= \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n-k+1} - \sum_{k=2}{n}\frac{1}{n-k+2} +1 -\frac{1}{n+1} \\
&= \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{n-k+1} - \sum_{l=1}^{n-1}\frac{1}{n-l+1} +1 - \frac{1}{n+1} \qquad(\because l = n+1)\\
&= 1- \frac{1}{n+1} \tag{30}
これを $\tag{29}$ に代入する事によって
\sum_{k=1}^{n+1} (x_{k}-x_{k-1})^{2} &= \sum_{k=1}^{n} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2}\\
&+ \frac{1}{n+1}x_{a}^{2} - 2 \frac{1}{n+1}x_{a}x_{b} + \left\{ 1 - \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \right\} x_{b}^{2}\\
&= \sum_{k=1}^{n} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2}+ \frac{1}{n+1} (x_{a} - x_{b})^{2} \tag{30}
を得ます。以上で、0次のKernelをもとめる計算の準備が整いました。 $\tag{15}$ に $\tag{30}$ を代入して
K_{0}(x_{b},t_{b},x_{a},t_{a}) &= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \prod_{k=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp}\left(i\frac{m}{2\epsilon} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2} \right) \\
&\cdot\mathrm{exp} \left[i\frac{m}{2(n+1)\epsilon}(x_{b}-x_{a})^{2} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{2i\pi\epsilon}{m}}\prod_{k=1}^{n-1} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp}\left(i\epsilon \frac{m}{2\epsilon^{2}} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2} \right) \\
&\cdot\mathrm{exp} \left[i\frac{m}{2(n+1)\epsilon}(x_{b}-x_{a})^{2} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \sqrt{\frac{2}{3}\frac{1}{2}} \left( \frac{2i\pi\epsilon}{m} \right)^{\frac{2}{2}} \prod_{k=1}^{n-2} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp}\left(i\epsilon \frac{m}{2\epsilon^{2}} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2} \right) \\
&\cdot\mathrm{exp} \left[i\frac{m}{2(n+1)\epsilon}(x_{b}-x_{a})^{2} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \sqrt{\frac{1}{s+1}} \left( \frac{2i\pi\epsilon}{m}\right)^{\frac{s}{2}} \prod_{k=1}^{n-s} \int_{-\infty}^{\infty} dx_{k} \mathrm{exp}\left(i\epsilon \frac{m}{2\epsilon^{2}} \frac{n-k+2}{n-k+1} \left[ x_{k} - \frac{1}{n-k+2} \left\{ x_{b} +(n-k+1)x_{k-1} \right\} \right]^{2} \right) \\
&\cdot\mathrm{exp} \left[i\frac{m}{2(n+1)\epsilon}(x_{b}-x_{a})^{2} \right] \\
&= \left( \frac{1}{N(\epsilon)} \right)^{n+1} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left(\frac{2i\pi\epsilon}{m}\right)^{\frac{n}{2}} \cdot\mathrm{exp} \left[i\frac{m}{2(n+1)\epsilon}(x_{b}-x_{a})^{2} \right]
と計算する事ができます。ただし積分はガウス積分の公式 $\tag{16}$ を使っています。ここで $\tag{3}$ をこれに代入すると結局 ${K_{0}}$ は次のように書けます。
K_{0}(x_{b},t_{b},x_{a},t_{a}) &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{m}{2i\pi \epsilon} \right)^{\frac{n+1}{2}} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \left( \frac{2 i \pi \epsilon }{m} \right)^{ \frac{n}{2} } \mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2\epsilon(n+1)} (x_{a} - x_{b})^{2} \right] \\
&= \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{m}{2i\pi \epsilon(n+1)} } \mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2\epsilon(n+1)} (x_{a} - x_{b})^{2} \right] \\
&= \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{m}{2i\pi (t_{b}-t_{a})} } \mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2\pi(t_{b} - t_{a})} (x_{a}-x_{b})^{2} \right] \qquad(\because (4)) \\
&= \sqrt{\frac{m}{2i\pi t}}\mathrm{exp} \left[ \frac{im}{2t} x^{2} \right] \qquad(\because t_{b} - t_{a} = t \qquad t>0\quad,\quad x_{b} -x_{a} = x) \tag{31}
古典力学との対応（自由粒子）
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ここで、Kernelからエネルギーと運動量で特徴付けられた状態で展開したいと思います。これによって古典力学との対応が見えてきます。
運動量とエネルギーはアインシュタイン-ド=ブロイの関係式から分かります（ $E$ :エネルギー $\omega$ :角速度 ${p}$ :x方向の運動量 ${k}$ :波数）。
&E = \omega \tag{32}\\
&p = k \tag{33}
それでは、運動量 $p$ で特徴付けられた状態をフーリエ変換を使って自由粒子のKernel ${K_{0}}$ を展開したいと思います。このとき ${K_{0}}$ は
&K_{0} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dp c(p,t) e^{ipx} \tag{34}\\
&c(p,t) = \int_{-\infty}^{\infty} dx K_{0}(x) e^{-ipx} \tag{35}
と書けます。 $\tag{35}$ を計算しますが、簡単のために ${\alpha = \frac{m}{2t}}$ とおきます。すると直ちに計算ができて
c(p,t) &= \int_{-\infty}^{\infty} dp \sqrt{ \frac{\alpha}{i\pi} } \mathrm{exp} \left[ i \left\{ \alpha x^{2} - px \right\} \right] \\
&= \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dx \mathrm{exp} \left[ i \alpha \left\{ x - \frac{p}{2\alpha} \right\}^{2} -\frac{p^{2}}{4\alpha} \right]\\
&= \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\mathrm{exp} \left[-i \frac{p^{2}}{4\alpha} \right] \int_{-\infty}^{\infty} dx \mathrm{exp} \left[ i \alpha \left\{ x - \frac{p}{2\alpha} \right\}^{2} \right] \\
&= \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\mathrm{exp} \left[-i \frac{p^{2}}{4\alpha} \right] \frac{i\pi}{\alpha} \\
&= \mathrm{exp} \left[-i \frac{p^{2}}{2m} t \right] \tag{36}
になります。これを $\tag{34}$ に代入して
K_{0} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} dp \mathrm{exp} \left[ i\left\{ px - \frac{p^{2}}{2m} t \right\} \right] \qquad t>0 \tag{37}
と書けます。ただし ${t<0}$ のときは ${K_{0} = 0}$ です。これを表現するためにヘヴィサイトの階段関数 ${\theta(t)}$ を用いて
&K_{0}(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a}) = \theta(t) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dp \mathrm{exp} \left[i \left\{ px - \frac{p^{2}}{2m} t \right\} \right] \tag{38}\\
&t=t_{b} -t_{a}\\
&x=x_{b} - x_{a}
これで、運動量の状態で展開された ${K_{0}}$ が得られました。ただし階段関数とは次の性質を満たすものです。
\theta(t) &= 1 \qquad(t>0)\\
&=0 \qquad(t<0)
更に階段関数をフーリエ変換しておきます。この結果として次の式を与えておきます。
\theta(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} d\tau \frac{e^{i\tau t}}{\tau - i \epsilon} \tag{39}
この式 $\tag{39}$ を $\tag{38}$ に代入して
K_{0}(x_{b},t_{b},x_{a},t_{a}) &= \frac{1}{(2\pi)^{2} i} \int_{-\infty}^{\infty} dp \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \frac{\mathrm{exp} \left[ i \left\{px - \left(\frac{p^{2}}{2m} -\tau\right) t \right\} \right]}{\tau - i \epsilon}\\
&=\frac{-1}{(2\pi)^{2} i} \int_{-\infty}^{\infty} dp \int_{-\infty}^{\infty}dE \frac{\mathrm{exp} \left[ i \left\{px - E t \right\} \right]}{\tau - i \epsilon} \qquad(\because E= \omega = \frac{p^{2}}{2m} - \tau \qquad d\tau = -dE) \\
&=\frac{1}{(2\pi)^{2} i} \int_{-\infty}^{\infty} dp \int_{-\infty}^{\infty}dE \frac{\mathrm{exp} \left[ i \left\{px - E t \right\} \right]}{-E + \frac{p^{2}}{2m} - i \epsilon} \qquad(\because \tau = \frac{p^{2}}{2m} -E \qquad \lim_{E \to \pm \infty} K = 0 ) \tag{40}
この式は自由粒子の波動関数が位置と時間と共にどのように発展するかを記述しています（そのためプロパゲータとも呼ばれます）。古典力学においては ${E=\frac{p^{2}}{2m}}$ を維持しています
が（この状態を "on mass-shell" と呼びます）、このときKernelは極を持つことがこの式から分かります。
On Mass-Shell
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On Mass-Shell とはグラフ ${E(p) = \frac{p^{2}}{2m}}$ を保つ状態、つまりエネルギーと運動エネルギーの２乗の比がちょうど慣性質量の2倍に等しいときをいいます。
つまり「古典的な ${E(p)}$ の2次曲線上にエネルギーの観測値がちょうどのりましたよ」と言っているにすぎません。