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双曲線関数の公式１
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双曲線関数に成り立つ公式は、 三角関数の公式１_ に大変よく似ています。
平方関係
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一番目の式は、公式というよりは定義そのものです。
\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1
1-\tanh^2 \theta = \frac{1}{\cosh^2 \theta}
1- \frac{1}{\tanh^2 \theta} =- \frac{1}{\sinh^2 \theta}
加法定理
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\sinh(\alpha \pm \beta) = \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh \alpha \sinh \beta
\cosh (\alpha \pm \beta) = \cosh \alpha \cosh \beta \pm \sinh \alpha \sinh \beta
\tanh (\alpha \pm \beta) = \frac{\tanh \alpha \pm \tanh \beta}{1 \pm \tanh \alpha \tanh \beta}
２倍角の公式
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加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ と置けば出てきます。
\sinh 2 \theta = 2 \sinh \theta \cosh \theta
\cosh 2 \theta = 2 \cosh^2 \theta -1 = 1+ 2\sinh^2 \theta = \cosh^2 \theta + \sinh^2 \theta
\tanh 2 \theta = \frac{2 \tanh \theta}{1+ \tanh^2 \theta}
ここで $\tanh \frac{\theta}{2}=t$ と置くと、次のようにも表せます。
\sinh 2 \theta = \frac{2}{1-t^2}
\cosh 2 \theta = \frac{1+t^2}{1-t^2}
\tanh 2 \theta = \frac{2t}{1+t^2}
３倍角の公式
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加法定理で、 $\alpha = \theta$ , $\beta = 2\theta$ と置き、２倍角の公式を再び使えば導けます。もしくは、オイラーの関係式 $\exp ^{\pm \theta} = \cosh \theta \pm \sinh \theta$ の両辺を３乗して、工夫するのも良い方法です。
\sinh 3 \theta = 3 \sinh \theta + 4 \sinh^3 \theta
\cosh 3 \theta = 4 \cosh^3 \theta -3 \cosh \theta
\tanh 3 \theta = \frac{3 \tanh \theta + \tanh^3 \theta}{1+ 3 \tanh^2 \theta}
半角の公式
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２倍角の公式から導けます。
\sinh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{2}
\cosh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta + 1}{2}
\tanh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{\cosh \theta +1}
積和の公式
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この公式は、加法定理で $\sinh(\alpha \pm \beta)$ , $\cosh(\alpha \pm \beta)$ を計算しておき、うまく足したり引いたりして導きます。
\sinh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big( \sinh(\alpha + \beta) + \sinh (\alpha - \beta)\Big)
\cosh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big( \sinh(\alpha + \beta) - \sinh (\alpha - \beta)\Big)
\cosh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big( \cosh(\alpha + \beta) + \cosh (\alpha - \beta)\Big)
\sinh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big( \cosh(\alpha + \beta) - \cosh (\alpha - \beta)\Big)
和積の公式
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積和の公式で $\alpha = \frac{A+B}{2}$ , $\beta = \frac{A-B}{2}$ と置けば導けます。
\sinh A +\sinh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
\sinh A -\sinh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}
\cosh A +\cosh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
\cosh A -\cosh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}
逆に、和積の公式で $\frac{A+B}{2}=\alpha$ , $\frac{A-B}{2}=\beta$ と置けば積和の公式が得られます。
.. _三角関数の公式１:
@@author: Joh@@
@@accept: 2005-01-20@@
@@category: 物理数学@@