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ガウス積分の公式2
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次の公式を求めたいと思います。
\int_{-\infty}^{\infty} e^{iax^{2}} = \sqrt{\frac{i\pi}{a}} \tag{1}
この公式は複素積分を利用して求める事ができます。
まず図のように実数軸に $x$ を,虚数軸に $y$ をとります（ ${z=x+iy}$ ）。
閉曲線 $C$ は ${C=C_{1}+C_{2} + C_{3}}$ とします。
1. 原点から $r$ まで $x$ 軸に沿う積分路を ${C_{1}}$
2. 積分路 ${C_{1}}$ の終端、つまり ${z=r}$ から ${z=re^{i\theta}}$ に沿って $z=re^{\frac{\pi}{4}}$ に至る積分路を ${C_{2}}$
3. 積分路 ${C_{2}}$ の終端、つまり ${z=re^{i\frac{\pi}{4}}}$ から ${x=y}$ になるような原点に至るまでの積分路を ${C_{3}}$
これに沿って ${e^{iaz^{2}}}$ を積分する方法をとります。 ${e^{iaz^{2}}}$ は複素平面全体で正則なので、
コーシーの定理より閉曲線 $C$ に対する積分に対して次の事が成り立ちます。
&\int_{C} e^{iaz^{2}} dz = 0 \\
&\int_{C_{1}+C_{2} + C_{3}} dz e^{iaz^{2}} = 0 \tag{2}
1.から分かるように $C_{1}$ についての積分から ${r \to \infty}$ で今回求めたい積分を求めることになります。 $\tag{2}$ はそれぞれの積分路についてばらす事ができて
&\int_{C_{1}} dz e^{iaz^{2}} + \int_{C_{2}} dz e^{iaz^{2}} +\int_{C_{3}} dz e^{iaz^{2}} = 0
&\int_{C_{1}} dz e^{iaz^{2}} = -\int_{C_{2}} dz e^{iaz^{2}} - \int_{C_{3}} dz e^{iaz^{2}}\\
&\therefore \int_{0}^{r} dx e^{iax^{2}} = -\int_{C_{2}} dz e^{iaz^{2}} - \int_{C_{3}} dz e^{iaz^{2}} \tag{3}
となります。左辺の値を求めるために右辺を計算します。まず ${C_{2}}$ についての積分値の大きさを評価します。
半径 $r$ の円周上を積分するので ${z=re^{i\theta}}$ となり
\left| \int_{C_{1}} e^{iaz^{2}} \right| \le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left|e^{iaz^{2}} \right| \left|\frac{dz}{d\theta}\right| d\theta \tag{4-1}
と書けます。ここで ${\left|e^{iaz^{2}}\right|}$ は計算すると
\left| e^{iaz^{2}} \right| &= \left| \mathrm{exp} \left[ ia \left(re^{i \theta}\right)^{2} \right] \right|\\
&= \left| \mathrm{exp} \left[ ia r^{2}e^{i 2 \theta} \right] \right|\\
&= \left| \mathrm{exp} \left[ ia r^{2} \left\{ \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) \right\} \right] \right|\\
&= \left| \mathrm{exp} \left[ a r^{2} \left\{ i \cos(2\theta) - \sin(2\theta) \right\} \right] \right|\\
&= \mathrm{exp} \left[ - a \sin(2\theta) \right] \tag{5}
だと分かります。 ${ \left| \frac{dz}{d\theta}\right| }$ は
\left| \frac{dz}{d\theta} \right| &= \left| \frac{d r e^{i \theta}}{d\theta} \right|\\
&= \left| ir e^{i \theta} \right| \\
&= r \tag{6}
となりますから $\tag{4-1}$ に $\tag{5}$ , $\tag{6}$ を代入します。
\left| \int_{C_{1}} e^{iaz^{2}} \right| &\le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} r \mathrm{exp} \left[ - a \sin(2\theta) \right] d\theta \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r \mathrm{exp} \left[ -a \sin t \right] \frac{1}{2} dt \qquad(\because t = 2 \theta ) \tag{4-2}
を得ます。次に ${\sin t}$ は閉区間 ${\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]}$ で上に凸である事から ${\frac{2}{\pi}t}$ 以上です。従って
&\sin t \ge \frac{2}{\pi} t\\
&-r^{2} \sin t \le -r^{2} \frac{2}{\pi} t\\
&\mathrm{exp} \left[-r^{2} \sin t \right] \le \mathrm{exp} \left[ -r^{2}\frac{2}{\pi} t \right] \\
&\therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{exp} \left[-r^{2} \sin t \right] dt < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{exp} \left[ -r^{2} \frac{2}{\pi} t \right] dt
が言えます。右辺を積分すると
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{exp} \left[ -r^{2}\frac{2}{\pi} t \right] dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{- \pi }{2r^{2}}\frac{d}{dt} \mathrm{exp} \left[ - \frac{2r^{2}}{\pi} t \right]\\
&= \frac{\pi}{2r^{2}} \left[ - \mathrm{exp} \left\{ \frac{2r^{2}}{\pi} \right\} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{\pi}{2r^{2}}\left[1-e^{-r^{2}} \right] \\
&< \frac{\pi}{2r^{2}} \qquad(\because e^{-r^{2}} > 0)
が言えるので、これより次の関係式
&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{exp} \left[-r^{2} \sin t \right] dt < \frac{\pi}{2r^{2}} \tag{7}
が得られます。そして最終的に $\tag{7}$ を $\tag{4-2}$ に代入して ${C_{2}}$ についての複素積分の大きさを次のように評価する事ができました。
&\left| \int_{C_{2}} e^{iaz^{2}} dz \right| < \frac{r}{2} \frac{\pi}{2r^{2}}\\
&\left| \int_{C_{2}} e^{iaz^{2}} dz \right| < \frac{\pi}{4r} \\
&\lim_{r \to \infty} \int_{C_{2}} e^{iaz^{2}} dz = 0 \tag{8}
次に ${C_{3}}$ の積分について計算していきます。このとき ${x=y}$ なので補助変数 ${s=x=y}$ を導入して ${z=(1+i)s}$ と書きます。
積分範囲は ${t=x=re^{i\frac{\pi}{4}}= \frac{r}{\sqrt{2}}}$ から原点 ${t=x=y=0}$ までなので、以上に述べた事をまとめると次のように書けます。
\int_{ C_{3}} e^{ia z^{2}} dz &= \int_{ \frac{r}{\sqrt{2}} }^{0} e^{ ia (1+i)^{2} t^{2} } (1+i) dt
a
&= -(1+i) \int_{0}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} e^{-2at^{2}} dt = - I \qquad (I>0) \qquad \because e^{-2at^{2}} >0 \tag{9}
ここで ${I^{2}}$ の ${r \to \infty}$ を考えると
\lim_{r \to \infty} I^{2} &= \lim_{r \to \infty }(1+i)^{2} \int_{0}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} \int_{0}^{\frac{r}{\sqrt{2}}} dx dy e^{-2a(x^{2}+y^{2})}\\
&= 2i \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} dx dy e^{-2a r^{2}} \qquad(\because r^{2} = x^{2} + y^{2})\\
&= \frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} dx dy e^{-2a r^{2}}\\
&= \frac{i}{2} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{r} dr r e^{-2a r^{2}}\\
&= \frac{i}{2} 2\pi \int_{0}^{\infty} dr \frac{1}{-4a}\frac{d}{dr}e^{-2a r^{2}}\\
&= \frac{i\pi}{4a} \left[- e^{-2a r^{2}} \right]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{i\pi}{4a} \left\{ 0 -(-1) \right\}\\
&= \frac{i\pi}{4a}
と計算できます。従って $I$ の ${r \to \infty}$ の極限は
\lim_{r \to \infty} I = \sqrt{\frac{i\pi}{4a}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{i\pi}{a}}
と評価する事ができます。これを $\tag{9}$ に代入して
\lim_{r \to \infty} \int_{ C_{3}} e^{ia z^{2}} dz = - \frac{1}{2} \frac{i\pi}{a} \tag{10}
を得ます。従って ${C_{1}}$ についての積分の ${r \to \infty}$ の極限は
\lim_{r \to \infty} \int_{ C_{1}} e^{ia z^{2}} dz &= \lim_{r \to \infty} \int_{0}^{r} e^{ia x^{2}} dx\\
&= 0 - \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{i\pi}{a}} \qquad(\because (8),(10))\\
&= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{i\pi}{a}}
なります。これをもう少し整理することでガウス積分の公式 $\tag{1}$ を得ることができます。
&\int_{0}^{\infty} e^{ia x^{2}} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{i\pi}{a}}\\
&2\int_{0}^{\infty} e^{ia x^{2}} dx = \sqrt{\frac{i\pi}{a}}\\
&\int_{-\infty}^{\infty} e^{ia x^{2}} dx = \sqrt{\frac{i\pi}{a}}