====================== 線形微分方程式の解き方 ====================== 物理学の方程式は多くの場合、線形微分方程式でまとめられている。 よって線形微分方程式の一般的な解法は物理学の学習に必須である。 今から紹介する解法は経験的に確かめられたもので、成り立つ事が理解できたのならば、 それ以上の理論は物理をする上では必須ではない。ただし、自分で微分方程式を解く 時はいつも解がその微分方程式を満たす事を確かめなければならない。 一階の定数係数微分方程式の解法 ============================== 一階の定数係数微分方程式は一般の形は \frac{dy(x)}{dx}+py(x)&= q(x) \tag{1} である。 　　　　　　　　　　　　　　　$p$ : 定数$q(x)$:関数 求積法 --------- 求積法による解法は最も直感的で分かりやすい。定数変化法などによる方法もあるが まずはこの方法で求めてみる。 解説 ~~~~~~~~~ まず積関数の微分における公式 \frac{d}{dx}f(x)g(x)=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx} \tag{2} に$f(x)&=y(x)$,$g(x)=e^{\int{p}dx}$を代入して計算すると \frac{d}{dx}y(x)e^{\int p dx} & = \frac{dy(x)}{dx}e^{\int p dx}+y(x)\frac{de^{\int p dx}}{dx} \\ & = \frac{dy(x)}{dx}e^{\int p dx}+y(x)pe^{\int p dx} \\ & = (\frac{dy(x)}{dx}+py(x))e^{\int p dx} \tag{3} となる。(1)式の右辺を(3)式右辺中の$(\cdot)$に代入すると \frac{d}{dx}y(x)e^{\int p dx}=q(x)e^{\int p dx} となる。両辺を積分で積分すると \int \frac{d}{dx} y(x) e^{\int p dx} & = \int q(x) e^{\int p dx} dx + C \\ y(x) e^{\int p dx} & = \int q(x)e^{\int p dx} dx + C \\ y(x) & = e^{-\int p dx}( \int q(x) e^{\int p dx} + C) _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot}y(x) & = e^{-px} (\int q(x) e^{ px} + C)\tag{5} という一般解が求まる。 $C$:積分定数 Ploblem1 ~~~~~~~~~ 一階定数係数線形微分方程式 \frac{dy(x)}{dx}+4y(x)&= x^2 の解を求めよ。また解が問題の方程式を満たしているかを調べ、 自分の答えが合っているか確かめなさい。 二階の定数係数微分方程式の解法 ================================= 一階の定数係数微分方程式は一般の形は \frac{d^2y(x)}{dx^2}+p\frac{dy(x)}{dx}+qy(x)&=r(x) \tag{6} である。 $p$,$q$:定数,$r(x)$:関数 求積法 --------- 求積法をメインに定数係数法、変数分離法を併用して解説します。 解説 ~~~~~ まず特性方程式 t^2+pt+q&=0 \tag{7} の解を$\alpha$,$\beta$とすると連立方程式 \alpha^2+p\alpha+q&=0 \tag{8}\\ \beta^2+p\beta+q&=0 \tag{9} が成り立つ。この時の同次形の微分方程式 \frac{d^2 y(x) }{dx^{2} }+p\frac{dy(x)}{dx}+qy(x)&=0 \tag{10} を$\alpha$,$\beta$で係数$p$,$q$で表す事を考える。 $\tag{8}$ $-$ $\tag{9}$から \alpha^2-\beta^2+(\alpha - \beta)p&=0\\ (\alpha+\beta)(\alpha-\beta) &=-(\alpha - \beta)p\\ _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot}p &=-(\alpha+\beta) \tag{11} を得る。また$\beta$ $\times$ $\tag{8}$ $-$ $\alpha$ $\times$ $\tag{9}$から \alpha\beta(\alpha - \beta) - q(\alpha-\beta) &=0\\ _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot}q &=\alpha\beta \tag{12} を得る。$\tag{11}$,$\tag{12}$を$\tag{10}$式に代入すると \frac{d^2y(x)}{dx^2} - (\alpha + \beta) \frac{dy(x)}{dx} + \alpha \beta y(x) &= 0 \\ \frac{d}{dx}(\frac{dy(x)}{dx} - \beta y(x)) + \alpha(\frac{dy(x)}{dx} - \beta y(x)) &= 0 ここで (\frac{dy(x)}{dx}-\beta y) &= X(x) と置くと変数分離型の微分方程式 \frac{d}{dx}X(x) + \alpha X(x) &=0 となる。左辺第二項を右辺へ移行して両辺を$X(x)$で割った後積分すると \frac{d}{dx}X(x) &= -\alpha X(x) \\ \frac{1}{X(x)} \frac{d}{dx} X(x) &= - \alpha \\ \int{\frac{1}{X(x)} \frac{d}{dx} X(x)} dx &= - \int{\alpha }dx + C\\ \ln(X(x)) &=\pm(\alpha x + C)\\ X(x) &=\pm e^{C}\cdot e^{\alpha x} となる。　　　　　　　　　　　　　　　$C$:積分定数 ここで任意定数$\pm e^{C}$を改めて任意定数$C$と書き直すと _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot}X(x) &=Ce^{\alpha x} \tag{13} を得る。 (\frac{dy(x)}{dx} - \beta y(x)) &= X(x) を$\tag{13}$式に代入し直すと一階の定数係数線形微分方程式 \frac{dy(x)}{dx}-\beta y &=Ce^{\alpha x} \tag{14} になる。$\tag{14}$式と$\tag{1}$式を比較すると p &= -\beta,q(x) = Ce^{\alpha x} が得られる。これを$\tag{5}$に代入すれば$\tag{10}$式の一般解が y(x) & = e^{\beta x} (\int Ce^{\alpha x} e^{-\beta x} + C') \tag{15} である事が分かる。更に整理すれば y(x) & = C_1 y_1(x) +C_2 y_2(x) \tag{16} と書ける。次に定数変化法を使って$\tag{6}$式の一般解を求める。任意定数$C$と$C'$を$x$の関数として考えて $\tag{6}$式の解になるように選べばよい。まず$\tag{10}$式の一般解 y(x) & = C_1(x) y_1(x) +C_2(x) y_2(x) \tag{17} を$\tag{6}$式に代入して計算を進める。 r(x) &= \frac{d^2(C_1(x) y_1(x) +C_2(x) y_2(x))}{dx^2}+p\frac{d(C_1(x) y_1(x) +C_2(x) y_2(x))}{dx}+q(C_1(x) y_1(x) +C_2(x) y_2(x)) \\ r(x) &= C_1(x)\{\frac{d^2 y_1(x) }{dx^2 }+p\frac{dy_1(x)}{dx}+qy_1(x)\} \\ +C_2(x)\{\frac{d^2 y_2(x) }{dx^2 }+p\frac{dy_2(x)}{dx}+qy_2(x)\} \\ +\frac{d^2 C_1(x) }{dx^2 }y_1(x) +\frac{d^2 C_2(x) }{dx^2 }y_2(x) \\ +2(\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx}+\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx}) \\ +p(\frac{dC_1(x)}{dx} y_1(x) + \frac{dC_2(x)}{dx} y_2(x)) ここで線形性から$y_1(x)$,$y_1(x)$もそれぞれ$\tag{10}$式の解であるので C_1(x)\{\frac{d^2 y_1(x) }{dx^2 }+p\frac{dy_1(x)}{dx}+qy_1(x)\}&= 0 \\ C_2(x)\{\frac{d^2 y_2(x) }{dx^2 }+p\frac{dy_2(x)}{dx}+qy_2(x)\}&= 0 を満たす。よって$r(x)$は r(x) &= +\frac{d^2 C_1(x) }{dx^2 }y_1(x) +\frac{d^2 C_2(x) }{dx^2 }y_2(x) \\ +2(\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx}+\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx}) \\ +p(\frac{dC_1(x)}{dx} y_1(x) + \frac{dC_2(x)}{dx} y_2(x)) となる。積関数微分の公式より \frac{d}{dx}(\frac{dC_1(x)}{dx}y_1(x)) &= \frac{d^2 C_1(x) }{dx^2 }y_1(x) +\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx} \\ _{\cdot}{^{\cdot}}_{\cdot}\frac{d^2 C_1(x) }{dx^2 }y_1(x) &= \frac{d}{dx}(\frac{dC_1(x)}{dx}y_1(x)) -\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx} 同様にして \frac{d^2 C_2(x) }{dx^2 }y_2(x) &= \frac{d}{dx}(\frac{dC_2(x)}{dx}y_2(x)) -\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx} が得られるので、これらをr(x)の右辺に代入する。すると r(x) &= \frac{d}{dx}(\frac{dC_1(x)}{dx}y_1(x))+\frac{d}{dx}(\frac{dC_2(x)}{dx}y_2(x))\\ +(\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx}+\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx}) \\ +p(\frac{dC_1(x)}{dx} y_1(x) + \frac{dC_2(x)}{dx} y_2(x)) \\ &= \frac{d}{dx}(\frac{dC_1(x)}{dx} dy_1(x)+\frac{dC_2(x)}{dx} dy_2(x)) \\ +(\frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx}+\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx})\\ +p(\frac{dC_1(x)}{dx} y_1(x) + \frac{dC_2(x)}{dx} y_2(x)) と整理できる。ここで p(\frac{dC_1(x)}{dx} y_1(x) + \frac{dC_2(x)}{dx} y_2(x)) &=0 \tag{18} という条件の下で解を求める事を考える。この条件が与えられたとき同時に \frac{dC_1(x)}{dx}\frac{dy_1(x)}{dx}+\frac{dC_2(x)}{dx}\frac{dy_2(x)}{dx} &=r(x) \tag{19} が成り立つ。未知関数は$C_1(x)$,$C_2(x)$の2つなのでこの2つの式を連立させて解けば求まるはずである。まずこの連立方程式を行列で \begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ \frac{dy_1(x)}{dx} & \frac{dy_2(x)}{dx} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{dC_1(x)}{dx} \\ \frac{dC_2(x)}{dx} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ r(x) \end{pmatrix} \tag{20} と表す。行列$A$を A &=\begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ \frac{dy_1(x)}{dx} & \frac{dy_2(x)}{dx} \end{pmatrix}^{-1} とすると逆行列$A^{-1}$は A^{-1} &= \frac{1}{\begin{vmatrix} \frac{dC_1(x)}{dx} \\ \frac{dC_2(x)}{dx} \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\ \frac{dy_1(x)}{dx} & \frac{dy_2(x)}{dx} \end{pmatrix}^{~}\\ &=\frac{1}{y_1\frac{dy_2}{dx}-y_1\frac{dy_2}{dx}}\begin{pmatrix} \frac{dy_2(x)}{dx}& -y_2(x) \\ -\frac{dy_1(x)}{dx} & y_1(x) \end{pmatrix} である。これを$\tag{20}$式の両辺に掛けてやれば \begin{pmatrix} \frac{dC_1(x)}{dx} \\ \frac{dC_2(x)}{dx} \end{pmatrix} &= \frac{1}{y_1(x)\frac{dy_2(x)}{dx}-y_1(x)\frac{dy_2(x)}{dx}}\begin{pmatrix} \frac{dy_2(x)}{dx}& -y_2(x) \\ -\frac{dy_1(x)}{dx} & y_1(x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ r(x) \end{pmatrix} &=\frac{r(x)}{y_1\frac{dy_2}{dx}-y_1\frac{dy_2}{dx}}\begin{pmatrix} -y_2(x) \\ y_1(x) \end{pmatrix} \tag{21} と係数$\frac{dC_1(x)}{dx}$,$\frac{dC_2(x)}{dx}$が求まる。更にそれぞれの係数について積分すると C_1(x)=-\int\{ \frac{r(x)}{y_1\frac{dy_2}{dx}-y_1\frac{dy_2}{dx}}y_2(x)\} dx +C_{11} \tag{22}\\ C_2(x)=\int\{ \frac{r(x)}{y_1\frac{dy_2}{dx}-y_1\frac{dy_2}{dx}}y_1(x) \}dx +C_{22} \tag{23} と係数がそれぞれ分かる。 係数には$p$,$q$が含まれていないので一般に変数係数$p(x)$,$q(x)$についても$\tag{22}$,$\tag{23}$は成り立つ。 また特に$\det(A)$の事をロンスキアンと呼ぶ。 Ploblem2 ~~~~~~~~~ 特性方程式の解$\alpha$,$\beta$が実数解のとき、虚数解の時、複素数解のときそれぞれの場合の$\tag{10}$の一般解を適当な形にまとめなさい。 Ploblem3 ~~~~~~~~~ \frac{d^2y(x)}{dx^2}-5\frac{dy(x)}{dx}-14y(x)&=\frac{2}{3}x^{3} の解を求めなさい。また、ploblem1と同様にして自分の答えが上の方程式を満たしているか確認しなさい。 @@author: おこめ@@ @@accept: 2004-12-12@@