査読/内積空間(Joh著)/6 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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はじめてのコメント †

ページ	査読/内積空間(Joh著)
投稿者	mNeji?
状態
投稿日	2006-07-03 (月) 23:49:54

↑

メッセージ †

まだ何処に何があるのかが解らずに，うろちょろしています．

私は，学部1年の時に，「ベクトルの定義」に納得が行かないままに，その疑問を封印してきました．これまで，なにかの折に，その尻尾を掴んだかと思ったら，するりと体をかわされてきました．

でも，関数の積分が内積だというのはなるほどです．

しかし，ベクトルの内積は，まだシックリしていません．

以前，2つのベクトルの内積で余弦が基底に寄らずに一定だという論議をベクトルの定義とされたように思いますが...もうあの記事がどこにあるかも見つからない...

私には，

成分の1行ベクトル(A^1, A^2, A^3)と独立な基底ベクトルの1列ベクトル(e_1, e_2, e_3)との縮約が，基底変換にたいしてスカラーとなる．

といった雰囲気の話があると，気分が優れるのですが...．

無いものねだりの孫悟空かな．

↑

返答 †

追伸 -- mNeji? 2006-07-04 (火) 03:52:38

自分の言いたいことがすこし見えるような気がしてきました．

$\vec A = A^j*\vec e_j$

左辺のベクトルAは，テンソルとしてはスカラーです．昔から，そうすると基底ベクトル

$\{\vec e_1$

と同じベクトルで無くなるという混乱が生じました．

ところが基底ベクトルと一般のベクトルは，明らかに別物だとおもいます．勿論，いま論議している基底ベクトルは正確にかけば基底ベクトルズ(複数形の積り)で，我々の空間では，3次元の(直交)慣性座標です．従って，なにがなんでも3ヶでセットの1階の(共変)テンソルといって良いわけです．当然他の慣性座標系に移ると，変換規則

$\vec e^j\prime = a^j\prime_k\vec e_k$

丁度，n次線形同時微分方程式の特解がn個あり，n個の関数をすべて一次結合の和として使って，微分方程式の完全解が得られるのと類似の現象ではなかろうか？

ここまででダウン．

積年の疑問が解消するかも知れないと思うと，目が冴えてきて -- mNeji? 2006-07-04 (火) 05:59:15

物理法則は，上に述べた意味で，スカラーに縮約された形式でのみ表現される．

といえないのだろうか．

少なくともニュートン力学の
- 運動量の時間変化は力の総和による．はスカラーだ
電磁気のマクスウェルの方程式群は，低速慣性系間ではスカラーとみなせる？
- 所謂，ベクトルの時間，空間の変分だけであり，
- 高速慣性系間では，ローレンツ変換を認める限り....フニャフニャだ？
重力場の方程式では．．．天体物理のご専門の方？
素粒子の多次元空間の云々については，何らかの束縛条件に使い得ないのか？

やはり，目は冴えているが，脳はスピンしていないな．

目が覚めたら，やはり幻だった．う～． -- mNeji? 2006-07-04 (火) 10:25:20
mNejiさん、いろいろ書き込みありがとう御座います。縦ベクトルと横ベクトルの違いについては、記事にしてみたいと思いました。直交変換で内積が不変なものは、テンソルの一般的な定義です。ベクトルを一階のテンソルと見れば納得いくでしょうか？一般に、テンソルを使って記述された方程式は、座標変換をすると式形そのものも変わりますが、物理法則として意味があるのは、変数は変われど、式形は不変なものだけです。（式形を法則と読み変えれば、物理法則は座標系によらないという主張でもあります。）その意味で、スカラーには限りませんが、最後の方に書いてあることは少しあっているような気がします。脳がスピンしていないということですが、素粒子のスピンはテンソルで表現できませんので、そのあたりの法則は別の定式化が必要なようです。 -- Joh 2006-07-04 (火) 18:06:29
Johさん，本当に絶妙なタイミングでお会いできて運命に感謝したいとことです．若い頃の自分が，今展開されているJohさんの論議とPCとTeXがあったらと思います．ぜひとも，この周辺のはなしもおいおい整備されるように期待しますね． -- mNeji? 2006-07-04 (火) 18:41:08
「判るようで，判らない」という状態は，もう少しすると判りかける前兆と信じて耐えています() -- mNeji? 2006-07-06 (木) 04:31:49
- ずばりお聞きします，2つのベクトルの内積は
  $\vec A* \vec B = A^j*B_j = A_j*B^j$
  で
  $\vec A* \vec B != A^j*B^j != A_j*B_j$
  ですか？
追伸 -- mNeji? 2006-07-06 (木) 11:27:19
- 私としての悩みは，この量は慣性座標系間の座標変換についてスカラであり，ベクトルの長さの指標と言えるのではないかと...段々と声が小さくなって...．
- やはりまだ，何かミッシング･リンクがあるな．．．ふぅ．
  
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