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査読/逆行列のよく使う性質(クロメル著)†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

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記事ソースの内容

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============================================================
逆行列のよく使う性質
============================================================

逆行列を掛けるということは、
どういうことなのか。
一つの解釈を書きたいとおもいます。

基本的性質
===================

行列はベクトルを並べたものとして考えると、
分かり易いです。

例えば、

<tex>
A\bm{b}_1 &= 
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix} \\
&=
3 
\times
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
-1
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
+2 
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
11
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

<tex>
A\bm{b}_2 &= 
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
+1
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
+1 
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
6 \\
8 \\
2
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

<tex>
A\bm{b}_3 &= 
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
4 \\
-1
\end{pmatrix} \\
&=
2 
\times
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
+4
\times
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
-2
\end{pmatrix}
-1 
\times
\begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
3
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
12 \\
9\\
-9
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

という風に、行列と列ベクトルの積は、
行列 $A$ を列ベクトル $\bm{a}_i(i=1,2,3)$ に分解し、
右から掛ける列ベクトル $\bm{b}$ の成分をその係数にして
掛け合わせたものとなります。

この三つの列ベクトルを並べて行列を作りますと、

<tex>
AB &= 
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
-1 & 4 & 5 \\
1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3  & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 4 \\
2  & 1 & -1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
4 & 6& 12 \\
3 & 8&  9\\
11 & 2& -9
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

逆行列
===============

ここで、有限次元の行列 $A$ を構成する列ベクトル $\bm{a}_i (i=1,2,3)$ を並べたものとして、
更に、 $A$ が逆行列を持つ（正則である）と考えてみましょう [*]_ 。 $A$ の逆行列を $A^{-1}$ と置きます。

.. [*] 行列は行基本変形や列基本変形で標準形を求めたとき、
階数が行列の次元に等しいと正則といい、
逆行列をもつのでした。

すると、逆行列の定義から、

<tex>
A^{-1}A &= A^{-1}
\begin{pmatrix}
\bm{a}_1&\bm{a}_2&\bm{a}_3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

つまり、これを分解すると、

<tex>
A^{-1} \bm{a}_1 = 
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>
A^{-1} \bm{a}_2 = 
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

<tex>
A^{-1} \bm{a}_3 = 
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} 
</tex>

と成ります。

重ね合わせの原理
=====================

行列と列ベクトルは線形性を持ちます。

つまり、行列 $A,B$ とし、列ベクトル $\bm{x},\bm{y}$ は、

<tex>
(A+B)\bm{x}=A\bm{x}+B\bm{x} \tag{##}
</tex>

<tex>
A(\bm{x}+\bm{y})=A\bm{x}+A\bm{y} \tag{##}
</tex>

が成り立ちます。

よって、式 $(6)$ の第一式に係数 $x_1$ を掛け、
第二式に $x_2$ を掛け、第三式に $x_3$ を掛け
足し合わせたものを作ると、

<tex>
A^{-1} \bm{x} &= 
A^{-1}(x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+x_3\bm{a}_3) \\ 
&= \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

と成ります。つまり、逆行列 $A^{-1}$ は、列ベクトル $\bm{x}$ 
を、列ベクトル $\bm{a}_i$ の線形結合

<tex>
\bm{x}=\sum_i x_i \bm{a}_i \tag{##}
</tex>

として表した
時の、 $\bm{a}_i$ の係数を列ベクトルとして
取り出す操作であることが分かります。

これで、列ベクトル $\bm{x}$ の代わりに、
行列 $X$ に作用させた時を考えると、

<tex>
A^{-1}X &= 
A^{-1}
\begin{pmatrix}
 x_1 \bm{a}_1 +x_2 \bm{a}_2 +x_3 \bm{a}_3 
& y_1 \bm{a}_1 +y_2 \bm{a}_2 +y_3 \bm{a}_3 
& z_1 \bm{a}_1 +z_2 \bm{a}_2 +z_3 \bm{a}_3 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\ 
x_2 & y_2 & z_2 \\ 
x_3 & y_3 & z_3  
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となる訳です。

その他応用例
===================

ここで簡単な応用例を書きます。 $n$ 次元正方行列 $A$ の固有ベクトルが、次元の数 $n$ 個あるとき、
固有値を $\lambda_i$ 、固有ベクトルを $\bm{p}_i$ とします。
固有ベクトルを並べた $n$ 次の行列を $P$ とします。
ここで、 $P^{-1}AP$ という行列を考えると、


<tex>
P^{-1}AP &= 
P^{-1}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 \bm{p}_1 & \lambda_2 \bm{p}_2  & \cdots & \lambda_n \bm{p}_n 
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_n
\end{pmatrix}
</tex>

となり、対角化されることが分かりますね。

それでは、今日はこの辺で。

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-04-19@@
@@category:物理数学@@
@@id:inverseMatrix@@