最後に物理学との関係を言ったほうが良いと思いました。 †
メッセージ †
最後に物理学との関係を記述したほうが良いと思いました。
束縛力の働く力学系での問題を扱うときに解析力学でよく使う
数学テクニックだとか言うと読者の注目度も変わってくると思います。あと例題として、もう少し抽象的なものでも扱えることを
示しても良いかもしれません。任意閉局面が面積が最大になるとき、その形は円だということを証明するとか・・・
返答 †
- お忙しいところ、査読どうもありがとうございました。一言、説明を加えることは可能ですが、力学の問題に絡めようとするとラグランジェの運動方程式は最低限出てくるので、読者のレベルを考えて具体的には何も書かなかった次第です。しかし、物理との関連をもうすこし述べたほうがいいですね。検討します。それから、「任意閉局面が。。。」という問題ですが、私は変分法を使って解く以外の解法が思いつきません。お恥ずかしい限りです。未定乗数法でどう解くのか教えてください。 -- Joh
- 拘束条件として周の長さLを与えます。この条件をもとに面積積分（0<=ds<=L）の極値問題を解けば出てきますよ。作用積分に形も似ていて解析の前準備に良いと思います。 -- おこめ
- しかし、関数形が不明なのではないですか？ -- Joh
- おこめさんが、面積積分の極値問題という表現で意味しているところのものがよくわかりません。具体的に教えてください。 -- Joh
- 結局オイラー方程式に帰着するわけですが、これをJohさんは変分法だと認識しているのではないでしょうか？ -- おこめ
- x=x(s) ,y= y(s) とおいてx'=dx/ds y'=dy/dsと書くことにします。そして面積はS=∬dydx=∫ydx=∫yx'ds＝∫fds、拘束条件としてL=∫ds=∫sqrt(dx^2+dy^2)=∫sqrt(x'^2+y'^2)ds=∫gdsを与えます。Sの極値はすなわちF=f+λgがオイラー方程式を満たすということです。ここまでがラグランジェの未定乗数法だと認識していますが、違いますか？ -- おこめ
- S~=S+λ∫gdsと書いたほうが極値を求める問題だとわかりやすいですね。これが解析力学だと面積でなく作用になり鞍部作用の原理となるわけです。解析力学の見通しを良くする効果があると僕は思います。 -- おこめ
- 0<=s=<1としてx(0)=x(1),y(0)=y(1)の条件で、定積分の範囲も0<=s<=1としています。 -- おこめ
- 極値問題とオイラー方程式の接続を示さなければならないので現段階ではS~の形で極値を求めたら良いと思います。 -- おこめ
- おっしゃっている内容はよくわかりましたが、私の認識では、それはやはり変分問題です。他の人の意見も聞きたいのですが、どなたかここのやり取りを読んだ人はコメントを下さい。 -- Joh
- ｇ＝L−∫sqrt(x'2+y'2)dsに変えればS~=S+λgとできるので、これはラグランジュの未定乗数法です。これを微分した結果がオイラー方程式を満たすということです。だから拘束条件を入れ込む作業までが未定乗数法で実際に計算する段階で極値をとるように変分をとってだす解法が変分法だと思います。Sが極値をとることには違いはないので未定乗数法には違いは無いというのが僕の認識です。解いている問題はSがｇ=０をとるという条件の極値問題ですよ。以前のgはg=Lの条件のSの極値問題です。これは未定乗数法の問題そのままだと僕は思います。 -- おこめ
- 関数F（ｘ、ｙ）、ｘ（ｓ）、ｙ（ｓ）の場合、一般にFが極値をとるときに
d(∂F/∂x')/ds-∂F/∂x=0,d(∂F/∂y')/ds-∂F/∂y=0を満たします。条件g=cでのFの極値問題をF~=F+λgが極値をとる問題にするのが未定乗数法だと思います。これはまさに解析力学でよくつかう方法だと思います。 -- おこめ
- この問題は一般に数学では変分法で求めることができるかもしれませんが、力学を考えるときにはいつもオイラーラグランジェの方程式に帰着するように束縛条件を未定乗数法を使って処理するのが少ないステップで解く方法だと思います。これはアルゴリズムの問題で数学の事情ではないですね。今気づきました。 -- おこめ
- 本題からずれていることを自覚したので状態は解決にしたいと思います。良いですか？ -- おこめ
- いや、議論は結構なのですが、どうも釈然としないのは、関数形が具体的にわかっていないのに、どうやって∂Ｆを計算するんですか？おっしゃるように、未定乗数を導入して拘束条件を式に入れ込む手順はラグランジェの未定乗数法と同じですが、関数の微分と、汎関数の変分は全然違う話ですよね。例えば、答えが円だ、とわかる前の関数形を滑らかな曲線だと仮定し、無限回微分可能だとすると、いま考えている関数はR∞→R1の写像だと言えますが、そのような空間でどうやって距離を定義するのか、というような問題も出てくるわけです。 -- Joh
- ちなみにご存知とは思いますが、定積分の形で与えられた条件のもとで解く変分問題を等周問題といい、おこめさんの提案してくださった問題は一番代表的なものなので、変分法のどの本にでも出ているものです。 -- Joh
- 等周問題ですか、はじめて聞きました。僕は数学の本を読んだわけではないので何も厳密な事情をしりません。今までの話では勝手に微分可能だとか仮定をいれていました。変分の場合の拘束条件をはずす操作を未定乗数法と書いているテキストもありますが、そこのところはどうなのでしょうか？ -- おこめ
- F＝yx'で、全くの未知関数というわけでは無いと思います。ちゃんと変数の接続状況も分かってます。どうにかここから全ての場合に微分可能であることを示すことはできませんか？ -- おこめ
- あまり考えたことのない問題だったので、考えてみます。問題提起、ありがとうございました。一緒に考えましょう。 -- Joh
- 僕はとりあえず来週の金曜日の午後からはフリーになるのでじっくり考えてみます。 -- おこめ
- 手元にある本だけで調べましたが、問題自体は私の言っていたように変分法という章にありましたが、そこではLagrangian Multiplier という言葉を使ってましたから、等周問題もラグランジェの未定乗数法の一種と考えていいんですね。日本語の本ではどう書いてあるんでしょうか。勉強になりました。この問題は、いずれ変分法の記事を書いたら載せましょう。 -- Joh
- そうなんですか。それでは状態を解決にしておきますね。 -- おこめ
- Wirtingerの定理を使うと、あんまり変分法っぽくなく解けるみたいです。 -- Joh
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査読/ラグランジェの未定乗数法（Joh著）/3
