ブラケット記法についての説明 †
メッセージ †
どうも、執筆お疲れ様です。読ませていただきました。
ブラケット記法についての説明ということですが、
その記法について読む読者というのは、波動関数の言葉でしか
量子力学を知らない人もいると思います。
そういう人には、波動関数とブラケット記法との対応を説明
してもらえると、より理解しやすいと思います。
これは質問です。
本文中では状態を数学的な言葉で書いていくルールを仮定してゆくのですが、その仮定は何の目的でおかれたのでしょう。
物理的な量子状態を、そうやって定義された｜＞が記述できる
ためだと思うのですが、そのことをチェックするのに十分なテストは
どんなものがあるのでしょうか。（例えば、今すぐ思いつくのは物理量を表すオペレータの期待値
が線形性を持つとかですが）
返答 †
- 査読ありがとうございます。そうですね、僕も波動関数との関係を書こうと思っていました。でもまだ僕の読んだ範囲にはその話が書いてないんです。あと質問についてですが、本の先のほうをパラパラ見てみるとちょっと抽象的な議論が多そうでこの本だけではわたなべさんの質問に答えられないかもしれません。そこでネットを探してみるhttp://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Dirac_0.pdf というファイルを見つけたのですが、これを読むとファインマン物理学にそのあたり（量子状態とブラケットベクトルとの関連とか）のことが書いてありそうです。というわけですこしお待ちください。-- クロメル
- 少し考えてみたのですが、仮定というのはおそらく波動関数の世界にノルムを導入するためかと思います。どういうことかといいますと、<A|B>=<B|A>^*とおくと、<A|A>が実数になりますよね。そのルートをとったものが数学で言うノルムとなってベクトルの長さを定義できます。（実数のベクトルの長さの拡張になっている。）確率は実数なので、あとでAという状態をとる確率を計算するときに便利だって言うことなんだと思います。ここで僕がわからないのは<A|A>が、|A>に定数倍の任意性があるので確率そのものではないってことです。ファインマンをよんでその辺を調べて見たいと思います。 -- クロメル
- 提案についてですが、現在そこまで勉強されていないのならば、この記事に詰めこむ必要はないと思います。それと、質問についても、まだ理解できていない部分ならば、心にとどめておくだけで良いと思っています。すぐに答える必要はありません（もちろん、個人的に気になるのでしたら良いのですが。勉強のペースが乱されて、負担でしょう）。 -- わたなべ
- 量子力学に関しては素人なのですが、思ったことを書きます。本文の「仮定」という部分ですが、これは先に『ブラとケットが双対ベクトルである』と書いた時点で、これはブラとケットに内積を入れてあるという意味なのですから、もはや仮定ではなくて結果だと思いました。内積があれば、ノルムが入るのも当然ですし（内積というのは計量を入れるものですから）、議論するとすれば、最初にブラに対してケットを定義したときに、内積をどう入れるか、という部分ではないでしょうか。 -- Joh
- ＞わたなべさん
そうですか、ありがとうございます。もうすこしで春休みなのでその時間を使って先を読んでみようと思います。
＞Johさん 概念の確認をしたいのですが、双対ベクトルというと複素共役なベクトルという意味で決まってしまうということですか？線形汎関数といえば、二つのベクトルのproduct（積？）は、必ずしも内積ではないですよね。仮定を導入することで、その線形汎関数を双対ベクトルにもって行くという流れを意識していたのですが。 -- クロメル
- 「双対ベクトルというと複素共役なベクトルという意味で決まってしまうということですか？」 いえ、そんなことは言ってません。well-definedであれば、どんな体上のベクトル空間でもいいのではないでしょうか。「線形汎関数といえば、二つのベクトルのproduct（積？）は、必ずしも内積ではないですよね。」それを内積と呼ぶ（定義）のだと思いますよ。まず内積が決まらなければ、双対とか線形汎関数という概念は決まらないと思います。 -- Joh
- クロメルさんへ わかりました。あと、試験がんばってください。
これで僕の提案については、一応決着がついたのですが、ここで行われている議論の状態はJohさんにお任せしたら良いのでしょうか？ -- わたなべ
- どうも試験がんばります(^O^)。そうですね、Johさん、もう少しお話をお願いします。対象を記述するために最低限の基本的な線形性だけを仮定（定義？）した双対な二つのベクトル空間を考えます。そうするとたぶんリースの定理で内積は行列の双一次形式として決まって来ると思います。けれども「仮定」を持ち込まなければ線形代数でよく扱うきれいなノルムは決まらないというのが私の主張です。。たとえば、<A|B>=\bar{<B|A>}という仮定について考えます。（これを導入すると少なくとも対応する成分同士が複素共役になるという効果があります）（∵\bar{<A|A>}=<A|A>）ここでブラとケットの対応付けを考えるのですが、|A>の第i成分は<A|の第i成分に対応するとします。たとえば、Tを転置として|A>=(1,1,1)^Tにたいして<A|=(1,1,2)なんかを対応させるとすると、第三成分だけ重みが変わってきますよね。これはまだいいとして<A|=(1,1,i)なんかを対応させてみると、反線形性c|A>⇔\bar{c}<A|を仮定すれば（これは最低限の「仮定」と思っています。これを持ち込まないともっときたないノルムになります）、(0,0,i)に対して(0,0,-i*i)などの対応はつくので定義できないわけじゃありませんよね。ノルムは実数のはずなのでたとえば、この複素数の絶対値をとったとします。|A>=(0,1,0),<A|=(0,1,0),|B>=(0,0,1),<B|=(0,0,i)なので、|<A|A>+<B|B>|=√2≠|<A|A>|+|<B|B>|=2となり確率振幅の線形性が成り立ちません。もしかしたら無理に絶対値を取らずに複素数のままノルムを考えても議論はできるのかもしれませんが、そういう余計な自由度は排除して簡潔な議論ができるようすることが<A|B>=\bar{<B|A>}という仮定の意味だと思います。読みにくい文になりましてすいません。 -- クロメル
- 二行目ですが、まず内積が定義されていなければ、双対空間を考えることはできないと思います。（「最低限の基本的な線形性だけを仮定（定義？）した双対な二つのベクトル空間を考えます。」というのが、私には無理に思えます。そもそも、ベクトル空間の定義は線形性なので、「線形性を仮定」するというのは無意味ですね。） また、双対ベクトルを、行列の双対形（たとえば縦ベクトルと横ベクトル）に対応させる写像は入れられますが、この対応は内積の定義に必要なものではありません。（そういう対応をさせてもいいよ、ということだと思います。）そして、ノルムというのは、内積を入れないと決まらないものですが、内積さえあればノルムは入れられます。線形代数でよく扱うきれいなノルム、とは、何を意味していますか？ 「成分同士が複素共役になるという効果があります」 これは・・・、複素ベクトルの内積はそうしなければ駄目なんじゃないでしょうか。C上のベクトル空間Vから（V,V）→Rという写像を考える際に、一番自然なのは複素共役を取ることではないでしょうか。これは効果ではなくて、内積の定義そのものだと思います。どうか、細かい点の揚げ足を取っているようには思わないでください。しかし、私には、理屈が全て逆のように思えるのです。。。 -- Joh
- もし、頭がごちゃごちゃしてくるようなら、１．ベクトル空間、２．内積、３．双対空間、４．ノルム、の、定義をそれぞれ書き下してみるといいと思います。（辞書か何か引いて。） -- Joh
- とんでもないです。私もこれらの仮定の位置づけを知りたいので有意義な話だと思っています。「最低限の基本的な線形性」というのは、汎関数（一般には線形汎関数ではないので）φの空間が線形性を持つという意味です。つまり、φ(au+bv)=aφ(u)+bφ(v)が成立するという意味で使いました。すいません、話がうまくかみ合わないのは、上での話で僕が「内積」を誤用したためだと思います。今後φをvに作用させた値（複素数）をproductという単語でつかうことにします。
先の話で内積をproductに置き換えて読んでもらえませんか？たしかに内積があればノルムは決まりますね。でもproductからは簡単にはノルムは作れないってことです。このproductにいろいろ仮定を加えて、ノルムを作っていくってイメージなんですけど… -- クロメル
- 一般に汎関数が線形とは限りませんが、おっしゃるように汎関数が線形性を持つというなら、それは線形汎関数ですね。つまり、それは内積ということだと思います。簡単に言えば、内積＝線形汎関数だと思ってよいと思います。 -- Joh
- まぁ、とりあえずproductと呼んでも良いです。ノルムの定義は何ですか？ -- Joh
- ノルムは、線形汎関数を導入した直後ではproductが複素数なので（線形汎関数側にそういう自由度があるので）、\bar<A|B>=<B|A>を仮定して自由度を制限しなければなりません。この仮定を導入した後、||A||=√<A|A> のつもりです。-- クロメル
- なるほど。クロメルさんの線形汎関数は、(V,V)→C ということですね。最初から、(V,V)→Rとしたら、いけないのですか？-- Joh
- ようやく論点が分かりました。クロメルさんの思考は、推察するに、１．ブラとケットという双対ベクトルがある、２．\bar<A|B>=<B|A>を仮定する、３．ノルムが定義できる。という順なんだと思います。私は、この「仮定」というのを、あとから付け足す意味が分からなかったのでした。最初から、１．\bar<A|B>=<B|A>を満たす複素双対ベクトルを、ブラとケットと名づける。と定義すれば、それだけで十分ではないでしょうか。そして、複素ベクトルに対してこの定義はごく自然なものだと思います。 -- Joh
- そこなんですよ。いままでどこへいってもブラベクトルはケットベクトルの複素共役だと教わってきたので、ブラケット記法を作ったディラック本人が書いた本の最初はブラを複素共役としない導入法に衝撃を受けたんです。そうやって多くの自由度を仮定で消していくことでブラを複素共役としなくても量子力学を記述できる世界があるということが私にとって新鮮な驚きでした。Johさんのおっしゃるように最初から\bar<A|B>=<B|A>を満たす複素双対ベクトルを、ブラとケットと名づけてしまうと、ブラケット記法に本来あった現象を記述するベクトルの自由度に触れられないので、私は基本的な書き方はいまのままで、注釈としてそれぞれの仮定のもつ役割を書いていく方向でいきたいんですけど、そうするとまわりくどいですか？ -- クロメル
- ディラックほどの人が、そういうアプローチをしているのなら、何か意味があるのでしょうねぇ。私は、全然量子力学は分からないので、以下は参考までに聞いてください。数学では、「仮定」というのは、導入することによって、一般性がせばめられてしまう拘束になります。ですから、恣意的な仮定を入れる際には、そうしないといけない強力な理由が必要だし（大抵は、仮定を入れないとそれ以上計算不能とかそんな理由）というのは、 -- Joh
- ディラックほどの人が、そういうアプローチをしているのなら、何か意味があるのでしょうねぇ。私は、全然量子力学は分からないので、以下は参考までに聞いてください。数学では、「仮定」というのは、導入することによって、一般性がせばめられてしまう拘束になります。ですから、恣意的な仮定を入れる際には、そうしないといけない強力な理由が必要だし（大抵は、仮定を入れないとそれ以上計算不能とかそんな理由）、できれば、後で仮定を廃した、より一般的な理論を展開することが望まれます。もし、件のノルムの話が「仮定」だとすると、私の立場から出てくる疑問は、１．\bar<A|B>=<B|A>を満たさない（つまり仮定を必要としない）体系が可能なら、なぜそちらへ移行しないのか。２．\bar<A|B>=<B|A>は必ずしも必要でないなら、なぜ最初に仮定したのか。という二点です。 -- Joh
- ええとですね。ケットからブラへのとり方に自由度があるというのは、たぶん元になるケットベクトルが決まっていないからなんですよ。議論するときは確率として二つの積がこうならなければならないという要請があってそこからケットを決めていくんだと思うんです。ここでケットからブラの決め方をめちゃくちゃにとっても（たとえばブラの第一成分だけ重みを２倍にする）、積を変えないようにケットを決められる（ケットの第一成分が半分になる）ので、それなら一番美しくブラをケットの複素共役にしましょうってことなんだと思います。 -- クロメル
- 言葉の使い方だけに問題は絞られてきたと思います。やはり、「仮定」と言ってしまうと、「じゃあ、仮定を外そうよ」「なんでそんな仮定をするの？」という話になってきます。クロメルさん（そしてディラックも）が言っているのは、やはり定義であって、自由度を削っていく云々という部分は、「どうしてそう定義したのか？」という、いわば定義のココロなのだと思います。（つまり、これは数学的議論ではないと思います。） どう思いますか？ -- Joh
- 数学的には、やはり内積とノルムを最初から定義で与えるのが厳密だし、そこで「仮定」というのを使うのは、ちょっと変わってるという印象をぬぐえません。ただ、天下り的に定義を与えるだけでは気持ちが悪い読者がいますので、なぜそのような定義したのかという理由を、ディラックは書いてくれたのではないでしょうか。これは、知っているべきことですが、議論の本筋に堂々と含めるものではないように思います。。。 -- Joh
- たしかにそうも考えられますね。記事を修正してみました。 -- クロメル
- 確かに、仮定という言葉は消えましたが、「自由度を制限していく」というくだりで、やはり違和感を覚えました。（しつこくてすみません。。。） このように書くと、「なぜいきなり自由度を制限するんだ？」「自由度を制限することで、失われるものは何？それでいいの？」という疑問が湧いてきます。（制限しなくても量子力学はできる、と書いてあるのでなおさらです。） 例えば、連立方程式を解くときのように、「自由度が多すぎて状態が決まらないので制限しないといけない」というのなら、事情は分かります。いまの書き方だと、自由度の制限があまりに唐突で、いきなり仮定を課すのと、ほとんど変わりは無いように思えます。 -- Joh
- そうですか、自由度についてはふれないで、最初から定義としてブラを複素共役として導入するってことですか？私にとってはなぜ線形汎関数（ブラ）がいきなり複素共役としてしまっていいのかって疑問が出てきて、かえって気持ち悪いのですが…http://www.moge.org/okabe/temp/quantum/node9.htmlの（２．４）式のところでも仮定って言ってるんですよ。電子工学科の学生向けのサイトのようです。 -- クロメル
- ちょっとたとえ話をしてみます。りんごの数を線形なパラメータで表すことにします。りんご一個につき普通はパラメータを１としますよね。そしてりんごｎ個ならパラメータをｎとする。でも一口に線形のパラメータといったら、それはりんご一個につき、πにしてもiにしてもいいわけです。それと同じで線形汎関数といったら複素数倍の自由度があってもいいわけです。普通はそんなことしないと思いますが、量子力学では<A|B>が複素数だったり,|A>+i|B>などが自然につかわれています。だから、線形汎関数も複素数の自由度があったほうが自然だと感じるのですが… -- クロメル
- 複素ベクトルだからと言って、別に特別なわけではありません。実ベクトルの内積だって、ベクトルAとBの内積を３Ａ・Ｂと定義したっていいわけです。だから、クロメルさんのおっしゃってることは、実数とか複素数とか、量子力学とか関係なく、当然のことです。リンク先のページの書き方なら、納得できます。そこの書き方は、「本当は、他の定義の仕方もあるのだけれど、簡単のために〜と定義する」という書き方です。それなら納得です。微妙な差なんですが、「さぁ、自由度を制限しましょう」という論理は、私には非常に抵抗があるんです。（でも、量子力学を専門に勉強なさっている方々にとって、これが普通ならば、もうこれ以上抵抗しません。） 誰か、量子力学に詳しい方の意見がほしいところですが、書くべきことは書いたので、あとはクロメルさんのご判断に任せます。長々とありがとうございました。 -- Joh
- Johさんとの話を念頭におきながら、自分の書いた文を読み返してみると確かに違和感をおぼえました。基本的な構造として、最初に自由度を多めにとってそれを制限していく方針は変わらないですが修正してみました。これがJohさんにとってすんなり受け入れられるものであればいいのですが。 -- クロメル
- ありがとうございます。自由度の部分の論理の流れは、理解できるものになりました。
 新たな疑問ですが、「線形代数のノルム」というのが、ひっかかりました。実ベクトルの例に戻りますが、実ベクトルAとBの内積をＡ・Ｂと定義しても、３Ａ・Ｂと定義してもいいわけですが、そこからノルムを√A・Aと取ったって、√3A・Aと取ったっていいわけですね。線形代数では、内積さえ決まれば（それがどんな内積でも）ノルムを定義できます。この段階で、例えば定数倍の自由度を含めて、異なるノルムを定義しても良いわけです。ですから、本文の議論は、何も量子力学に特別なことを言っているというよりか、私には線形代数そのものに見えます。私から見ると、結局、「１．ブラとケットに内積を定義する。２．ノルムの決め方には自由度があるが、都合よく定義する。」という、当たり前のことを線形代数としてやっているように見えます。クロメルさんは、どう思いますか？線形代数で言うところのノルムとは、どんなものなのでしょうか？ -- Joh
- うまく改善できたようでよかったです（＾＾）Johさんの疑問にたいしてまた修正してみました。ここまでの議論でブラ（一形式）が決まったわけですよね。今度はノルムはいろいろな自由度を考えずにそのままV*×V→Rで、||A||=√<A|A>です。こうやって<A|A>をノルムそのものにするためにブラにいろいろ仮定したわけです。 -- クロメル
- おつかれさまでした 状態を解決にしておきます。お陰で、ブラケットの勉強になりました。クロメルさんの勉強にもなっているとうれしいです。 -- Joh
- この議論をする前は仮定は何のためかわからなかったのに話をしていくことで分かっていきました。自分が書いた文章って後で読み返すとなんでこんな書き方したんだろうってことが結構あるんですね。 お話ありがとうございました。 -- クロメル
- 波動関数とブラケット記法との対応は、別の記事にする予定です。 -- クロメル
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査読/ブラベクトルとケットベクトル(クロメル著)/5
