変数変換 †
メッセージ †
xとyの積分を、極座標に変換した際に、積分領域が
x掛けるyという矩形の領域から扇形の領域に変更された
わけですが、もしも積分区間が有限ならこれは一致しません。
積分区間が無限だから良い、というのは数学的にはやや乱暴で、
一言説明が必要なように思います。(初投稿！)
返答 †
- 有限区間でも積分範囲を変更すれば当然結果は一致しますよ。ガウス積分の場合も変更されているじゃないですか。あと数学をうるさくやるときりが無いような気がします。僕たちのやりたいことは物理なのでは？ -- おこめ
- 査読ありがとうございます。有限区間なら一致しないとのことですが、たとえば半円 y = √(1-x^2) の囲む面積 S = ∫_0^1 √(1-x^2) dx を極座標に変換して計算しますが、そういう計算はまずいということでしょうか? -- CO
- 僕は、一言触れておく方が良いと思った、というだけで、数学的に厳密な説明をしたほうが良いと書いたのではありません。もちろんやりたいのは物理です。COさんの挙げた例では、変数を変換しても積分領域が変っていませんから問題ありません。おこめさんのコメントの最初の一行は、よく意味がわからないので、もう一度説明をお願いします。 -- Joh
- ここで説明するのは無理です。高校で習う数学の定積分でも変数変換するときは積分範囲をそれに応じて変化させるじゃないですか。だから有限区間でも積分の結果は変数変換しても変わりませんよ、ということです。要望があればそれについてここのプロジェクトのツールを使って数式を書いて説明しますが。あとガウス積分も積分範囲を変えています。 -- おこめ
- なんとなく Joh さんのおっしゃってることがわかりました。Joh さんは、最初の積分領域が矩形であるとおっしゃっていますが、それはどこからでてきたのでしょうか？ -- CO
- もちろん、ここで議論するのは無理です。おこめさん以外にもここを読んでいる人で意味がわからない人がいるかも知れないので、もう一度だけ書きます。頭の中にx軸とy軸を描いて、原点中心に丸を想像してみてください。この内部の領域を、-R<x<R, -√(1-x^2)<y<√(1-x^2)と表現しようが、0<r<R, 0<theta<2piと表現しようが、表している円は同じですね。だから、この円領域内で定義される関数の積分をx,yで表現しようが、r, thetaで表現しようが同じことです。しかし、ガウス積分では有限区間だとすれば、[0,x]x[0,y]という長方形の領域の積分の話を[r;0,R],[theta;0,pi/2]という扇形の領域の話にすり替えているんですよ。これは同じになりません。二次元だから難しいんでしょうか。おこめさん、積分の結果が変数変換しても変らないのは、積分領域も変らない場合だけですよ。 -- Joh
- ＞COさん 普通のxy平面で第二象限だけで考えます。xとyはいま互いに独立ですから、xが[0,x]、yが[0,y]で定義されているとしたら、[0,x]x[0,y]の長方形になると思います。 -- Joh
- なるほど、おっしゃる意味をフォローすることはできました。x,y の積分の時点で積分領域は円形であると仮定しても良いですよね。（その場合、積分領域を D とか書いて別途示さなくてはいけませんが。）最初 x,y で表記された時点での積分領域が、無限大区間のガウス積分の場合、明らかでないのでそのようにしても問題ないと思ったのですが、どうでしょうか。 -- CO
- うるさく言うと一対一の対応関係が成り立つので一般に長方形を円上に写像することはできると思います。都合よくxとyの間にx^2+y^2=r^2(=const)という条件を付加しても∞区間積分なので一般性は失われない。こういう解説が必要ということでしょうか？ -- おこめ
- Johさんのおっしゃっていることがはっきりとわかりました。 -- CO
- > おこめさん とりあえず∞の場合はおいておいて、∫_{-R}^{R} dx ∫_{-R}^{R} dy f(x,y) という積分を考えると、積分領域は明らかに一辺の長さ 2R の正方形ですよね。これを極座標変換する場合を考えてみると Joh さんのおっしゃっていることがわかりやすいと思います。 -- CO
- 有限区間の場合でもI=\int f(x)dx =\int f(y) dyという関係で結ばれています。一般に矩形になるのですか？正方形になりそうな気がします。Johさん、良かったら教えてください。 -- おこめ
- これは現存の記事の「積分法」のシリーズに加筆した方が良いかも知れません。 -- おこめ
- 無限大の場合には、 被積分関数が無限遠で速やかにゼロに集束する限り、無限遠で積分領域を適当に変形しても構わない だろうと思います(数学的にはあくまで近似になるのでしょうか?)。ガウス積分の場合は満たしていますね。 -- CO
- ↑これで説明をしようと思います。 -- CO
- 絵を入れたら説明が簡単でしょうね -- おこめ
- Joh さん、ご指摘ありがとうございました。おこめさんも付き合っていただきありがとうございました。m(__)m -- CO
- そうですね、図を入れて説明しようと思います。 -- CO
- 一晩読んでいなかったうちに、すごく話が進んでいたので驚きました。太字のようなコメントを一行入れていただければ十分だと思います。数学的にも近似ではありませんが、関数形によるんだと思います。この場合、被積分関数は健康なのでしょう。 ＞おこめさん 確かに円形の領域と矩形の領域の一対一対応は有限区間では成り立ちますが、無限の区間に話を敷衍すると一般性が失われます。一対一対応を考えることをペアリングといいますが（おそろいの指輪ではない）、ペアリングに関しては有限と無限で話が全然変ってきますから、「無限が出てきたらペアリングは危険だ」と、とりあえず覚えておいて下さい。領域は確かに正方形かもしれません。ただ、xとyは独立な変数と考えてますから、どういうスピードで極限に動くのかわかりませんね。最後に無限に極限を取るのだったら、正方形に縛る必要はないように思いますが、図で描くなら、そのほうが見やすいですかね。COさん、おこめさん、一緒に考えてくださってありがとうございます。 -- Joh
- こちらでは昼間に話が進行しましたが、そちらでは一晩なんですね
 -- CO
- 無限と有限で話が変わってくることはよくありそうですが、数学を勉強した事がない僕には分かりません。たしか未満と以下の区別に似た事情の違いでしたっけ？（不確かです）Johさんありがとうございました。 -- おこめ
- 修正しました。 -- CO
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査読/ガウス積分の公式（CO著）/5
