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棒の端点の速度増加率は、棒の長さによらず不変 †

メッセージ †

執筆おつかれさまです。 計算は追っていませんが、読みました。 人が倒れるのと、棒の倒れるのに要する時間に因果関係が どこまであるのかは疑問ですが、 「棒の端点の速度増加率が、棒の長さによらず不変」 という結果は面白く、そしてきれいな結果だと思いました。 ケプラーの法則みたいに直接計算をかいさず、この結果は出せませんか？ 感覚的には非自明に思える結果が、ちょちょいと出せたら面白いと思います。

素朴に考えると、次のように言える気がします。

「考えている系を支配するパラメータは、棒の質量m,長さl,そして 重力加速度gになる（時間依存するものは角度\theta）。 このとき、棒の角度\thetaの2回微分がどのようになるか 考えると、次元が[時間]^-2なのでこの次元を持った量をさがしてみる。 そうすると、g/lのコンビネーションでしか、この次元を持った量がこの 系のパラメータからは作ることができないのでg/l×F(\theta)の形に限定できる。 質量に依らないことも、mass次元をかせげるのがmのみであることから言える。」

「」に書いたことが正しいとすると、記事中の子供（幼児）の倒れやすさの根拠として この記事に書かれていることが全て分かったことになります（大人の体重の重さと関係の無いことも含めて）。

あと、気になったのははじめの方の

＞長さが違う棒を倒すとき，長いほど遅く倒れるのだろうと予想しました．

という記述です。いつ予想したのか分かりませんでした。

返答 †

• わたなべさん、査読ありがとうございます＾＾なるほど、次元解析から攻めてみるということもできるのですね。前半が次元解析、後半が解析解という流れにするのも手ですね。改訂しようと思います。あと、予想は確かに突然に書いてありますね。なぜそう思ったのかを書き足します。現実の現象についての説明なので、こうして導かれた結果はこの現象を説明する「一因」として考えられるだろう位に書いた方がいいなと思いました。近いうちに改定しますね -- クロメル 2007-10-20 (土) 20:46:59
• あと、純粋に棒の端点が地面につくまでの時間について知ろうと思ったら、エネルギーの式から出発するのが良いと思います。積分自体は、振り子の周期の場合とほとんど同じでしょう（さかさまにして、ひもがたるまないとしただけ）。これも次元解析から\thetaの時間微分は(g/l)^{1/2}に比例することが分かります(速度は、l^(1/2)に比例して大きくなるんですね。)。 -- わたなべ 2007-10-20 (土) 22:05:32
• 返信送れてすいません。えっと、エネルギー保存から出せるのは、時刻ｔでの速度ですよね？速度をどうしたら時間間隔がでてきますか？よくわからなかったので、できたら、何をおっしゃっているのか、もう少し詳しく書いていただけたら嬉しいです。 -- クロメル 2007-11-09 (金) 17:58:51
• 今考えている系は、振り子の問題と、エネルギーの式はファクター（慣性モーメントと質点の運動エネルギーの差、つまりm/3v^2とm/2v^2の違いですか）を除いて同じですよね？そう思って書きました。（ここで間違っていれば、この話は何も意味は無いのですが）そうしたら、振り子の周期の計算と同じ方針で、剛体棒の倒れるまでの時刻を計算できるのではないかと思ったわけです。そうすると周期の結果は、次のページを参考にした計算で得られると思ったわけです。http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/elliptical/ -- わたなべ 2007-11-09 (金) 22:09:48
• おお、ありがとうございます。なるほどこういう考え方なのですか、となると、(楕円積分)=(√2l/3g)*T/4を解けば良さそうですね。同じことを書くのも冗長になってしまいますから、詳細はこの記事にリンクを張って、結果だけ利用させて頂こうかと考えています。 -- クロメル 2007-11-10 (土) 14:33:23