#rst2hooktail_source ============================================================ 行列式の導出 ============================================================ * 執筆中 [#sa6680f8] 行列式の定義を見ると,どうしてこのような式を考え付いたのか想像しにくいですね. 行列式を使わずに連立1次方程式を解いて,行列式の導出を試みましょう. 執筆中の記事を仮公開する場所です。ある程度できてきて他の人の意見を聞きたい場合や、他の人に制作中の記事を見てもらうことによりハッパをかけたい場合などに利用してください。 ///////////////////////////////////////////////// // 新しく記事を執筆中に提出される方は // この下のリストに追加してください. ///////////////////////////////////////////////// 3元連立1次方程式 ============================================================ 一般の場合は式が複雑で考えにくいので,まず <tex> a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 </tex> について考えましょう. $x$ を求めるために $a_i x + b_i y + c_i z = d_i$ の辺々に $\pm b_j c_k (i \neq j \neq k \neq i)$ をかけた <tex> \pm (a_i b_j c_k x + b_i b_j c_k y + c_i b_j c_k z) = \pm d_i b_j c_k </tex> に対して,例えば <tex> + a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\ - a_2 b_1 c_3 x - b_2 b_1 c_3 y - c_2 b_1 c_3 z = - d_2 b_1 c_3 </tex> を辺々加算すると $y$ の係数が $(b_1 b_2 - b_2 b_1) c_3 = 0$ となります.また, <tex> + a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\ - a_3 b_2 c_1 x - b_3 b_2 c_1 y - c_3 b_2 c_1 z = - d_3 b_2 c_1 </tex> を加算すると $z$ の係数が 0 になります. $y$ の係数には $b_i b_j$ が, $z$ の係数には $c_i c_k$ が含まれているのがポイントで, <tex> (s_{ijk} b_i b_j - s_{jik} b_j b_i) c_k y = 0 ~~(s_{ijk} = - s_{jik}) \\ (s_{ijk} c_i c_k - s_{kji} c_k c_i) b_j z = 0 ~~(s_{ijk} = - s_{kji}) </tex> となるので,(とりあえず) $s_{123} = 1$ を初期値として符号 $s_{ijk}$ を $s_{ijk} = - s{jik} = - s_{kji}$ によって順次定めると <tex> + a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\ - a_1 b_3 c_2 x - b_1 b_3 c_2 y - c_1 b_3 c_2 z = - d_1 b_3 c_2 \\ + a_2 b_3 c_1 x + b_2 b_3 c_1 y + c_2 b_3 c_1 z = + d_2 b_3 c_1 \\ - a_2 b_1 c_3 x - b_2 b_1 c_3 y - c_2 b_1 c_3 z = - d_2 b_1 c_3 \\ + a_3 b_1 c_2 x + b_3 b_1 c_2 y + c_3 b_1 c_2 z = + d_3 b_1 c_2 \\ - a_3 b_2 c_1 x - b_3 b_2 c_1 y - c_3 b_2 c_1 z = - d_3 b_2 c_1 </tex> が得られ,総和をとると(結果的に) $y$ , $z$ の係数がいずれも 0 になることが分かります. 置換による表現 ============================================================ 集合 $\{1, 2, \cdots , n\}$ に対する1対1写像を置換といい,とくに $\{1, 2, \cdots , n\}$ の任意の2数だけを交換する置換を互換といいます. $i$ と $j$ を交換する互換 $\sigma$ は $\sigma(i) = j,~~ \sigma(j) = i,~~\sigma(k) = k (k \neq i, j)$ ですが,これを $(i~~j)$ とかきます.任意の置換は互換の繰り返し(合成写像)で 表現できます.表現の仕方はいろいろありますが,置換を表現するのに必要な互換 の数は偶数か奇数かは変わりません.互換の数が偶数の置換を偶置換,奇数の置換を 奇置換といい,置換 $\sigma$ の符号を偶置換のときは ${\rm sgn}(\sigma) = 1$ 奇置換のときは $ {\rm sgn}(\sigma) = -1$ で定めます. $s_{ijk}$ の $i, j, k$ は互いに異なるので,置換 $\sigma$ を用いて $i = \sigma(1), j = \sigma(2), k = \sigma(3)$ と表現でき,置換を用いると $n$ 元連立1次方程式への拡張が容易になります. 一般化準備として,まず <tex> s_{ijk} b_j c_k (a_i x + b_i y + c_i z) = s_{ijk} d_i b_j c_k </tex> を置換を用いて書き換えましょう. $s_{ijk} = {\rm sgn}(\sigma) = s_\sigma$ とし <tex> i = \sigma(1),~~ j = \sigma(2),~~ k = \sigma(3),~~~~ a_i = a_{i1},~~ b_i = a_{i2},~~ c_i = a_{i3},~~~~ x = x_1,~~ y = x_2,~~ z = x_3 </tex> を代入した <tex> s_\sigma a_{\sigma(2)2} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(1)k} x_k = s_\sigma d_{\sigma(1)} a_{\sigma(2)2} a_{\sigma(3)3} </tex> が $x_1$ を求める式であることに注意. $x_2$ を求めるときの式は <tex> s_\sigma a_{\sigma(2)1} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(1)k} x_k = s_\sigma d_{\sigma(1)} a_{\sigma(2)1} a_{\sigma(3)3} </tex> あるいは $\sigma$ を変更した <tex> s_\sigma a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(2)k} x_k = s_\sigma d_{\sigma(2)} a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(3)3} </tex> であり, $x_j$ を求める式は <tex> s_\sigma \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(j)k} x_k \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} = s_\sigma d_{\sigma(j)} \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} </tex> です.上式の 3 を $n$ で置換し, $\sigma$ の定義域を ${1, \cdots , n}$ と考えれば, そのまま一般の場合に適用できます. 一般化 ============================================================ 3 を $n$ で置換し, $\sigma$ の定義域を ${1, \cdots , n}$ と考えても $x_j$ を同じ式で 求められることを確かめましょう. <tex> \sum_{k=1}^n a_{\sigma(j)k} x_k s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i) i} = d_{\sigma(j)} s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i) i} </tex> の $\sigma$ についての総和をとると, $x_k~(k \neq j)$ の係数は <tex> \sum_\sigma s_\sigma a_{\sigma(j) k} a_{\sigma(k) k} \prod_{i \neq j, k} a_{\sigma(i) i} = 0 </tex> となります.ここで $i \neq j$ は $i \in \{1, \cdots , n \} - \{ j \}$ , $ i \neq j, k $ は $i \in \{ 1, \cdots , n \} - \{ j, k \}$ を意味します.上式が成立することは $\sigma'(j) < \sigma'(k)$ である任意の置換 $\sigma'$ に対して置換 $\sigma''(j) = (j~k) \sigma'$ が存在して, <tex> s_{\sigma'} a_{\sigma'(j)k} a_{\sigma'(k)k} + s_{\sigma''} a_{\sigma''(j)k} a_{\sigma''(k)k} = 0,~~~~ a_{\sigma'(i)i} = a_{\sigma''(i)i} ~~(i \neq j, k) </tex> が成立するので, $x_k ~(k \neq j)$ の係数である置換の総和を $\sigma(j) < \sigma(k)$ である置換の総和とそうでない置換の総和に分けると,これらの総和が相殺することから分かります. 補遺 ============================================================ (1)発見的に考えるには対象を簡単化して見易い記号を使うこと.最初から <tex> a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n = d_i </tex> で考えようとすると無用な複雑さで思考が妨げられます. (2)「3元連立1次方程式」では $a_i x + b_i y + c_i z = d_i$ に $\pm b_j c_k$ を 天下り的にかけましたが, <tex> a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 </tex> から $z$ を消去すると <tex> (c_1 a_2 - c_2 a_1) x + (c_1 b_2 - c_2 b_1) y = c_1 d_2 - c_2 d_1 </tex> が得られ,同様に <tex> (c_2 a_3 - c_3 a_2) x + (c_2 b_3 - c_3 b_2) y = c_2 d_3 - c_3 d_2 \\ (c_3 a_1 - c_1 a_3) x + (c_3 b_1 - c_1 b_3) y = c_3 d_1 - c_1 d_3 </tex> も成立するので, $y$ の係数に注目して <tex> \begin{array}{rrrrr} b_3 (c_1 b_2 - c_2 b_1) & = & b_2 b_3 c_1 & - b_3 b_1 c_2 & \\ b_1 (c_2 b_3 - c_3 b_2) & = & & b_3 b_1 c_2 & - b_1 b_2 c_3 \\ b_2 (c_3 b_1 - c_1 b_3) & = & - b_2 b_3 c_1 & & + b_1 b_2 c_3 \end{array} </tex> から,加重加算によって $y$ の係数を にできることが分かります.行列式で表すと <tex> - b_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| + b_2 \left| \begin{array}{cc} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| - b_3 \left| \begin{array}{cc} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{array} \right| = 0 </tex> です. (3)連立1次方程式 <tex> \sum_{k=1}^n a_{ik} x_k = d_i </tex> の解 $x_j$ は <tex> \sum_{k=1}^n a_{\sigma(j)k} x_k s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} = d_{\sigma(j)} s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} </tex> <tex> \sum_\sigma s_\sigma a_{\sigma(j)k} a_{\sigma(k)k} \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} = 0 </tex> <tex> \left( \sum_\sigma s_\sigma \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i)i} \right) x_j = \sum_\sigma s_\sigma d_{\sigma(j)} \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i)i} </tex> から $x_j$ の係数が0でなければ一意に定まります. $a_{ik}$ を $(i,k)$ 要素とする $n$ 次正方行列 $A$ の行列式は <tex> |A| = \sum_\sigma {\rm sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i) i} </tex> で定義されるので, $x_j$ の係数が $a_{ik}$ を $(i, k)$ 要素とする $n$ 次正方行列 $A$ の 行列式であり,上式右辺は行列 $A$ の $(i, j) (i = 1, \cdots , n)$ 要素を $d_i$ で置換した 行列の行列式になっていること(クラメルの公式)を確かめられます. あとがき ============================================================ 数学史的な内容は[1]を参照してください. @@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F,行列式 - Wikipedia@@ @@author: pulsar@@ @@accept: 執筆中@@ @@category: 初等代数@@ //- [[執筆中/記事名(著)]] - [[執筆中/微分演算子の座標変換(Joh著)]] - [[執筆中/原子核に束縛された電子(一電子)(NOBU著)]] - [[執筆中/熱力学第二法則(moto著)]] - [[執筆中/ベクトル再考(やっさん著)]] //- [[執筆中/偏微分の計算方法(おこめ著)]] //- [[執筆中/リーマン積分(おこめ著)]] - [[執筆中/夕焼けはなぜ赤いのか?(FKD著)]] //- [[執筆中/ガウス積分の公式2(おこめ著)]](廃) //- [[執筆中/ゲージ変換(おこめ著)]] - [[執筆中/いまいちどだけ内積・外積(Joh著)]] //- [[執筆中/相対性理論って?(nemo著)]] - [[執筆中/毒学(chick・まる著)]] //- [[執筆中/身の回りの偏光(CO著)]] - [[執筆中/光学式エンコーダ(崎間著)/ソース]] - [[執筆中/万有引力を表す式の導出(トミー著)]] //- [[執筆中/コッホ曲線(CO著)/ソース]] - [[執筆中/気体定数(トミー著)]] - [[執筆中/絶対温度(トミー著)]] //- [[執筆中/マクスウェル方程式(CO著)]] //- [[執筆中/電磁気学のためのベクトル解析(CO著)]] - [[執筆中/ガウスの法則-積分形(篠原著)]] - [[執筆中/極座標とラグランジュの運動方程式(nemo著)]] - [[執筆中/数学のレシピ (1) (K.I.著)]] - [[執筆中/数学のレシピ (2) (K.I.著)]] - [[執筆中/数学のレシピ (3) (K.I.著)]] - [[執筆中/単位のお話 (K.I.著)]] //- [[執筆中/自分で調べるCのポインタ (pulsar著)]] //- [[執筆中/ドップラー効果3(pulsar著)]] //- [[執筆中/国際単位系の分かり難さについて(pulsar著)]]