* 長い直線とは？ [#e8a41167]
|~ページ|[[査読/全順序集合と長い直線(丹下著)]]|
|~投稿者|[[K.I.]]|
|~状態|#listbox3(質問,査読2,state)|
|~投稿日|2007-05-13 (日) 16:30:06|
** メッセージ [#c4c7d159]
丹下さん，執筆お疲れさまです。
結局の所，「長い直線」とはなんだかよく分かりませんでした。非可算集合 Y と やっぱりこれも非可算集合 X {x | 0 <= x < 1} とから定義される集合 (仮に Z とおきます)， Z = {(y, x) | y ∈ Y, x ∈ X} のことを「長い直線」と呼ぶのですか。日常世界のイメージとはちょっと違いますね。
二つの集合 A と B が， A = {r | 0 < r <= 1} と B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A} と定義すると， A の濃度と B の濃度が実は等しいことをカントールが証明し，「分かる事は分かるが信じられない」と言ったらしいですが，これに対して，デデキントが，カントールの証明の中で， B の元と A の元とを一対一対応させる時，不連続になることを指摘しています。で，私が何を言いたかったかと言いますと，この集合 B と丹下さんの定義された Y × X というのがとても似ているなぁと思ったということです。この集合 B と長い直線とは関係がありますか？
もう少し長い直線の一般的な定義があれば良いと思いました。
** 返答 [#hb2c6175]
- あ、すいません。なんだか分かりにくい文章でした。しかも何で長い直線なんかでてきたの？って感じですよね。全順序集合で一点の周りで連続的なものは実数しかないのでは？という疑問を打ち砕くために紹介しました。一般に（実数）×（実数）に辞書式順序を入れた空間を長い直線といいます。少し書き直します。なんだか唐突なので分からなければ無視してもらってもかまいません。 -- [[丹下]] &new{2007-05-13 (日) 22:35:49};
- それであれば， (実数) × (実数) × (実数) に辞書式順序を入れた物も全順序集合で一点の周りで連続になりますね。と，言う事は一般的に R^n (ただし n は自然数) は全順序集合で一点の周りで連続的だと考えても良いのでしょうね。それ以外に面白い例はありませんか？ -- [[K.I.]] &new{2007-05-13 (日) 23:23:47};
- 改訂して頂きまして，分かり易くなりました。長い直線のイメージが掴めました。記載の図から「長い直線」なる用語が出て来たんですね…… -- [[K.I.]] &new{2007-05-14 (月) 13:46:26};
- 実数を何個も直積して辞書式順序をいれても同じ空間が得られます。このような例はもっと勉強が進んでからでもよかった気がします。そろそそ位相の話題も進めましょう。それと一点の周りで連続（実数のようになっている）ことを（今の場合１次元）位相多様体といいます。全順序集合ではほかに面白いものはこれ以上知りません。 -- [[丹下]] &new{2007-05-14 (月) 22:27:10};
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