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面積分
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スカラー関数 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ を積分することを考えます。積分領域の形には色々あり、例えば 線積分_ は、積分領域が曲線に制限されたものでした。ここでは、積分領域が曲面に制限されているものを考えます。
変数 $x_{1},x_{2},x_{3}$ が、ある曲面 $D$ 上を動き回るとし、 $D$ を点 $M_{i} \ (1 \le i \le n)$ を中心とする $n$ 個の区画に分割します。そして、 $D$ 上の点 $M_{i}$ における関数の値を $f(M_{i})$ 、 $M$ を中心とする微小面積を $\Delta S_{i}$ とし、次のような量を考えます。
<tex>
\sum \limits _{i=1}^{n} f(M_{i}) \Delta S_{i} \tag{1}
</tex>
現在の状況を図にすると、次のような感じでしょう。（曲面上の各微小区画で、それぞれ関数値が与えられているというイメージを一生懸命描いてみました。式 $(1)$ は、次図の柱の体積の総和になりますね。）
.. figure:: Joh-SurfaceIntegral01.gif
各微小面積×関数値の和は、こんなイメージでしょうか。なかなか絵は上達しません。
ここで $n \rightarrow \infty$ なる極限を取り、同時に分割区画を極限まで小さくして行くと、式 $(1)$ は次の積分形で表現されることになります。これを *面積分* と呼びます。
<tex>
\int \limits _{D} f dS \tag{2}
</tex>
ポイントは、積分領域が曲面になっているという点です。式 $(2)$ はスカラーの形ですが、微小面積要素 $dS$ を、 面積ベクトル_ の形で $d\bm{S}=\bm{n}dS$ と書いて（ $\bm{n}$ は法線ベクトルです）、ベクトル形で表現する面積分もあります。こちらの方が、物理学の計算では重要です。
<tex>
\int \limits _{D} f d\bm{S} & = \int \limits _{D} f \bm{n}dS \\
& = \bm{e_{x_{1}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_{x_{1}}})dS
+ \bm{e_{x_{2}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_{x_{2}}})dS
+ \bm{e_{x_{3}}} \int \limits _{D} f (\bm{n} \cdot \bm{e_{x_{3}}})dS
\tag{3}
</tex>
.. [*] ただし、ここで積分領域として考えている曲面には、全て『表・裏』の向きが定義できるものとします。どちらが表でどちらが裏か、というのは便宜的に決めて良いのですが、一度決めれば、表裏が区別できるというのが重要です。世の中には次図のメビウスの輪のように、表と裏を区別できないような曲面も存在します。今後、面積分に関する記事では、特に断りのない限り、表裏を区別できる曲面だけを扱うものとします。
.. figure:: Joh-MaxBillMoebius.png
メビウスの輪。表と裏の決められない曲面の代表的な例だ。写真はMax Bill氏の作品。（花崗岩製、パリ・ポピドゥーセンター所蔵）
ベクトルの面積分
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式 $(2)(3)$ では被積分関数がスカラーでしたが、ベクトル関数の面積分を考えることもできます。ベクトルには、スカラー積、内積、外積といった演算がありましたから、面積分にも次の $3$ 種を考えることができます。
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} dS = \int \limits _{D} A_{1} dS + \int \limits _{D} A_{2} dS + \int \limits _{D} A_{3} dS \tag{4}
</tex>
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} \cdot d\bm{S} &= \int \limits _{D} \bm{A} \cdot \bm{n}dS \\
& = \int \limits _{D} A_{1} (\bm{e_{1}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{2} (\bm{e_{2}}\cdot \bm{n})dS
+ \int \limits _{D} A_{3} (\bm{e_{3}}\cdot \bm{n})dS
\tag{5}
</tex>
<tex>
\int \limits _{D} \bm{A} \times d\bm{S} &= \int \limits _{D} \bm{A} \times \bm{n}dS \\
& =
\bm{e_{1}} \int \limits _{D} (A_{2}n_{3}-A_{3}n_{2})dS +
\bm{e_{2}} \int \limits _{D} (A_{3}n_{1}-A_{1}n_{3})dS +
\bm{e_{3}} \int \limits _{D} (A_{1}n_{2}-A_{2}n_{1})dS
\tag{6}
</tex>
式 $(5)$ の形の面積分には、後で勉強するように ガウスの発散定理_ という有名な定理が関係し、実際に物理学に関係する場面で一番よく出てくるものです。
面積分の和
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面積分の領域 $S$ を複数の領域に分割できる場合、面積分を積分領域に従って和の形に表すことができます。この定理は応用上、非常に重宝します。変な形の積分領域は、分かりやすい形に分割してしまえば良いわけです。
.. image:: Joh-SurfaceSplit.gif
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f dS = \int \limits _{S_{1}} f dS + \int \limits _{S_{2}} f dS
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} f d\bm{S} = \int \limits _{S_{1}} f d\bm{S} + \int \limits _{S_{2}} f d\bm{S}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} dS = \int \limits _{S_{1}} \bm{A} dS + \int \
limits _{S_{2}} \bm{A} dS
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \cdot d\bm{S} = \int \limits _{S_{1}} \bm{A} \cdot d\bm{S} + \int \limits _{S_{2}} \bm{A} \cdot d\bm{S}
</tex>
<tex>
\int \limits _{S_{1}+S_{2}} \bm{A} \times d\bm{S} = \int \limits _{S_{1}} \bm{A} \times d\bm{S} + \int \limits _{S_{2}} \bm{A} \times d\bm{S}
</tex>
.. _線積分: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/LineIntegral3/
.. _面積ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/AreaVector/
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GaussDivTheorem/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SurfaceIntegral@@
記事ソース/面積分 の変更点
