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無限小回転1
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剛体の回転を勉強するとき、無限小回転という考え方が出てきます。回転角が無限に小さい回転を無限小回転と呼ぶのです。しかし、回転が無限に小さかったら、いつまでたっても全然回りませんね。どうして、こんな回転を考えるのでしょうか。潔く、グルリと回してしまったらいけないのでしょうか？回転について少し考察を深めてみようというのが、この記事の目的です。順序として、まず剛体の有限回転(回転の大きさが無視できない回転)について考えます。その後、有限回転と比較しながら、無限小回転に特有の特徴を考えます。このページを読み終わったら、そのまま 無限小回転2_ へ進んでください。二つ合わせて一つの内容になっています。
有限回転
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まずは次の図を見てください。剛体に、右にグルリと90度倒す回転と、180度ひっくり返す回転を連続して行った様子を描いたものです。同じ回転なのに、順序を変えただけで、結果が違ってしまっています！！
.. image:: Joh-Panda1.gif
このように、回転という操作は、一般的に順序を入れ替えると結果が違ってしまうのです。順序が変えられないということを、数学では『非可換である』と言います。
剛体の向きをベクトルで表すことにすると、ベクトルに回転行列を掛けることによって、ベクトルの回転、すなわち剛体の回転を表わすことができます。 [*]_
では、パンダの図で行った回転を、ベクトル $(a,b,c)$ と行列を使って表現してみましょう。移動したあとのベクトルを $(a',b',c')$ と名づけておきます。回転行列を忘れてしまった人は、この機会に 回転行列 を復習してみて下さい。とりあえず、回転行列を忘れてしまっていても、今この記事をざっと読むのには差し支えありません。
まずは、ベクトル $(a,b,c)$ を $y$ 軸回りに $90$ 度回転させ、それから $z$ 軸回りに $180$ 度回転させます。
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
-c \\
-b \\
-a \\
\end{array}
\right) \tag{1}
</tex>
.. image:: Joh-FiniteRot1.gif
今度は先に $z$ 軸回りに $180$ 度回転させ、しかる後に $y$ 軸回りに $90$ 度回転させるという回転を表してみましょう。行列の順序を入れ替えただけです。
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
a' \\
b' \\
c' \\
\end{array}
\right)
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\
\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right) \\
&=
\left(
\begin{array}{ccc}
c \\
-b \\
a \\
\end{array}
\right) \tag{2}
</tex>
予想通り！回転の順番を変えただけで結果が違ってしまいました。数式で書くと、途端に頭が痛くなってくる人がいるかも知れませんが、どうか難しく考えないで下さい。先ほど図で見たパンダ(謎)の回転を式で表してみただけなのです。『回転は順番が大事なんだ』ということだけ頭の隅に覚えておいて下さい。細かい式は気にしなくて大丈夫です。
.. [*] 回転操作の非可換性は、行列の積が非可換である(行列 $A$ , $B$ に対し、一般には $AB \ne BA$ である)ことと対応しているわけです。一般に回転行列は、すべて直交行列です。直交行列とは、転置行列が逆行列になっているような行列のことでした。回転は 四元数_ を用いて表現することもできます。四元数の積も、もちろん非可換になっています。
無限小回転
--------------------------------
それでは、回転の角度が非常に小さいの場合を考えてみましょう。回転行列 $A$ によって微小回転を表現します。 $A$ の表す回転は大変に小さいので、単位行列 $E$ と微小回転部分 $\varepsilon$ ( $\varepsilon$ の二次以上の積は無視できる)を用いて $A=E+\varepsilon$ と表現できるとします。では、二つの微小回転 $A_{1}$ と $A_{2}$ を連続して行うことを考えて見ましょう。
<tex>
A_{1}A_{2} = (E+\varepsilon_{1})(E+\varepsilon_{2})=E+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} +\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \simeq E+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}
</tex>
<tex>
A_{2}A_{1} = (E+\varepsilon_{2})(E+\varepsilon_{1})=E+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} \varepsilon_{1} \simeq E+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1}
</tex>
行列の積は非可換でしたが、行列の和は順番を変えても良かったことを思い出してください。(一般に行列 $A$ , $B$ に対し、 $A+B=B+A$ が成り立ちます。)すると、結局 $A_{1} A_{2} =A_{2}A_{1}$ が成り立ちます。『微小回転においては、回転の順番を交換できる』と言えるわけです。 [*]_ これはもう、回転角が大きいか小さいかというだけの問題ではありません。『可換』と『非可換』とは、数学的に、天と地ほどの違いがあるのです。"無限小回転は数学的に全く違う性質を持つのだ"と思ってください。読者のみなさんにおかれましては、どうかこの感動を、しばしゆっくりと味わって頂きたいと思います。
.. image:: Joh-Mt.Fuji.gif
.. [*] 行列を微小量 $\varepsilon$ で表しましたが、行列が微小とはどういうことなのか、この表記について気になった方がいらっしゃるかと思います。ベクトルに行列を掛けると、一般にはその長さと角度が変化を受けますが、ここでは行列 $A=E+\varepsilon$ による変化が、長さについても角度についても、二次以上の項が無視できるほど微小なのだ、ということです。 $\bm{r'}=(E+\varepsilon)\bm{r}$ と置きますと、 $\delta \bm{r}=\bm{r'}-\bm{r}=(E+\varepsilon ) \bm{r}-E\bm{r}=\varepsilon \bm{r}$ と表されますので、 $\delta \bm{r}\cdot \delta \bm{r} = \varepsilon^2 ( \bm{r} \cdot \bm{r})$ が成り立ちます。 $\bm{r} \cdot \bm{r}$ は微小量ではありませんから、結局、『ベクトルの変化 $\delta \bm{r} $ の高次の微小量が無視できる』ということを、形式的に『行列 $\varepsilon$ の高次の微小量が無視できる』と言い換えられるわけです。
もう一度、パンダを回してみましょう。先ほどと同じ向きに回しますが、今回、回す角度をほんの少しだけにしておきます。回転の順番を変えても、結果がほとんど同じだということが見て分かります。
.. image:: Joh-Panda3.gif
練習問題
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次の行列 $A$ , $B$ に対し、 $\theta$ , $\phi$ が二次以上の項を無視できるような微小量ならば、 $AB=BA$ が成り立つことを確認してみて下さい。
(ヒント)微小量 $\theta$ に対して $\sin \theta \simeq \theta$ , $\cos \theta \simeq 1$ を使いましょう。
<tex>
A= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
</tex>
<tex>
B= \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \phi & 0 & \sin \phi \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \phi & 0 & \cos \phi\\
\end{array}
\right)
</tex>
無限小回転を表す行列
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一般に、回転という操作の順番を変えるわけにはいきませんが、無限小回転の場合に限って順番を変えても良い、ということでした。もう少し、このことの考察を進めてみましょう。
.. image:: Joh-IR7.gif
微小な回転によってベクトル $\bm{r}$ が $\bm{r'}$ に移されたとしましょう。このとき、上の図を見れば、 $\bm{r'}=\bm{r}+\delta \bm{r}$ と書けることが分かると思います。
ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r'}$ に移す変換を、行列 $A$ を用いて $\bm{r'}=A\bm{r}$ と表わすことにします。ベクトルの微小変化 $\delta \bm{r}$ を、行列 $\varepsilon$ を用いて $\delta \bm{r}=\varepsilon \bm{r}$ と表すことにすれば、 $\bm{r'}=\bm{r}+\delta \bm{r}=(E+\varepsilon )\bm{r}$ ですから、 $A$ は次のように書けるでしょう。
<tex>
A=E+\varepsilon
</tex>
この段階では、行列 $\varepsilon$ がどのような形をしているかまだよく分からないので、とりあえず成分を次のように書いておきます。未知の成分が現段階で $9$ つあることを確認しておいて下さい。
<tex>
\varepsilon= \left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
いまから行列 $\varepsilon$ の形と成分を、もう少し詳しく考えてみます。道具として使うのは $A$ の逆行列と、 $A$ が回転を表す行列なので直交行列であるという性質の二つです。
まず $A=(E+\varepsilon)$ の逆行列ですが、これは $A^{-1}=(E-\varepsilon)$ です。ちょっと天下り的ですが、確かに次のように $A$ と $A^{-1}$ を掛け合わせてみれば単位行列 $E$ になることから確認できます。 $\varepsilon$ の自乗が無視できることに注意して下さい。
<tex>
AA^{-1}=(E+\varepsilon)(E-\varepsilon)=E+\varepsilon-\varepsilon-\varepsilon \varepsilon = E
</tex>
一方、 $A$ は回転を表す行列ですから、直交行列です。直交行列というのは、転置行列が逆行列になっているような行列のことを言うのでした。つまり $A^{t}=A^{-1}$ が成り立つはずです。( $A$ の転置行列を $A^{t}$ で表します。一般に行列の和と転置行列に関して $(A+B)^{t} = A^{t} +B^{t}$ が成り立つことを使います。ここでは、証明はしませんので、よく分からない人は線形代数を復習してみてください。) $A=(E+\varepsilon)$ の転置行列を考えてみましょう。
<tex>
A^{t}=(E+\varepsilon)^{t}=E^{t}+\varepsilon^{t}=E+\varepsilon^{t}
</tex>
よって、 $A^{t}=A^{-1}$ より、 $E-\varepsilon=E+\varepsilon^{t}$ が言えます。両辺から $E$ を引けば次の関係式が得られます。
<tex>
\varepsilon = -\varepsilon^{t}
</tex>
これを行列 $\varepsilon$ の成分で直接考えれば、次のような関係がなりたっているということです。
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-\varepsilon_{11} & -\varepsilon_{21} & -\varepsilon_{31} \\
-\varepsilon_{12} & -\varepsilon_{22} & -\varepsilon_{32} \\
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & -\varepsilon_{33} \\
\end{array}
\right)
</tex>
両辺の成分を一つ一つを見比べて、 $\varepsilon$ の形を次のように決めることが出来ます。簡単のため、 $\varepsilon_{12}=-r, \varepsilon_{13}=q, \varepsilon_{23}=-p$ のように置きました。
<tex>
\varepsilon
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
-\varepsilon_{12} & 0 & \varepsilon_{23} \\
-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & 0 \\
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -r & q \\
r & 0 & -p \\
-q & p & 0 \\
\end{array}
\right)
</tex>
このような形の行列を反対称行列と呼びます。( $p,q,r$ の並べ方と、マイナスのつけ方ですが、実はちょっと訳あって、このようにしました。 無限小回転2_ でじきにこの理由が分かります。楽しみに待っていてください。フフフ)
これは非常に感動的な結果です。一般に、３次元のベクトルに行列を作用させて有限回転を表現するには $3 \times 3$ の行列が必要で、 $9$ つの成分を決める必要があったわけです。ところが、微小回転ではたった $3$ 成分で済むというのですから、計算の労力が一気に三分の一に減ってしまったのです！！
( 無限小回転2_ へつづく)
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathInPhys/determinant/
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/index.html
.. _回転行列:
.. _無限小回転2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/infinitesimalRot2/
.. _四元数: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/mathInPhys/quaternion/
@@author:Joh@@
@@accept:2005-05-23@@
@@category:力学@@
@@id:infinitesimalRot1@@
記事ソース/無限小回転1 の変更点
