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速度vの位置xでの微分
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(自由粒子の)運動エネルギーを求める際、 `
<tex>
\int m \ddot{x} dx &= \int m \ddot{x} \dot{x} dt \\
&= \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \tag{##}
</tex>
としますよね。ここで疑問を見つけました。
<tex>
\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \right) ?= m \ddot{x} \tag{##}
</tex>
と言う計算が成立するのでしょうか？結果はその通りのようです。と言うわけで、今回は微分のお話です。
定義に基づいた微分の計算
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とりあえず、鎖の規則で式(2)を簡単にしておきましょう。
<tex>
(Yoshiki) &= \dfrac{d}{d \dot{x}} \left( \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \right) \dfrac{d \dot{x}}{dx} \\
&= m \dot{x} \dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} \tag{##}
</tex>
ここで思うことは一つでしょう。 $\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx}$ ってなんじゃい！？僕は最初これを見て、 $dx$ が打ち消し合って、微分演算子 $\dfrac{d}{dt}$ になるのかな？と思いました。しかし、それは全くの見当はずれだったのです。こういう時、定義に戻って微分を考えることは大切です。 $\lim$ を書きませんが、混乱はないものと思われます。テイラー展開 $x(t+dt)=x(t)+\dot{x}(dt)$ を使います。
<tex>
\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= \dfrac{\dfrac{x(t+2dt)-x(t+dt)}{dt} - \dfrac{x(t+dt)-x(t)}{dt}}{x(t+dt)-x(t)} \\
&= \dfrac{x(t+2dt) - 2x(t+dt) + x(t)}{(dt)(x(t+dt)-x(t))} \\
&= \dfrac{x(t) + \dot{x}(2dt) -2(x(t)+\dot{x}(dt))+x(t) }{\dot{x}(dt)^2} \\
&= \dfrac{0}{\dot{x}(dt)^2} =0 \tag{##}
</tex>
うっぷす、近似が甘かったです。では、テイラー展開の二次近似を用いましょう。
テイラー展開 $x(t+dt)=x(t)+\dot{x}(dt)+\dfrac{\ddot{x}(dt)^2}{2}$ を使います。
<tex>
\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= \dfrac{x(t+2dt) - 2x(t+dt) + x(t)}{(dt)(x(t+dt)-x(t))} \\
&= \dfrac{ \{ x(t) + \dot{x}(2dt) + (1/2)\ddot{x}(2dt)^2 \} -2 \{ x(t)+\dot{x}(dt)+(1/2)\ddot{x}(dt)^2 \} + x(t) }{\dot{x}(dt)^2} \\
&= \dfrac{2 \ddot{x}(dt)^2 - \ddot{x}(dt)^2}{\dot{x}(dt)^2} \\
&= \dfrac{\ddot{x}(dt)^2}{\dot{x}(dt)^2} \\
&= (\ddot{x}/\dot{x}) \tag{##}
</tex>
なるほど、こうなりましたか、式(3)に代入して計算を確かめましょう。
<tex>
(Yoshiki) &= m \dot{x} \dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} \\
&= m \dot{x} (\ddot{x}/\dot{x}) \\
&= m \ddot{x}
\tag{##}
</tex>
おお、これは正に式(2)の右辺ですね。
と言うわけで、今回の成果は、
<tex>
\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= (\ddot{x}/\dot{x}) \\
&= \dfrac{\dfrac{d \dot{x}}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \tag{##}
</tex>
です。 $dx$ を約分するのはダメでしたが、 $1/dt$ を挿入する事ならOKのようです。ある意味で「ロピタルの定理」ですね。今日はここまで、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2015-06-21@@
@@category:力学@@
@@id:vDifByx@@
記事ソース/速度vの位置xでの微分 の変更点
