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擬テンソル
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ベクトルとは、直交変換に際して次のような変換則に従う量と定義されました。
<tex>
{A'}_{i} = \alpha_{ij} A_{j} \tag{1}
</tex>
これとそっくりな、 *擬ベクトル* という量が 反対称テンソルと軸性ベクトル_ に出てきました。
<tex>
{A'}_{i} = \pm \alpha_{ij} A_{j} \tag{2}
</tex>
違いは、 $\pm$ という記号があるかないかですが、擬ベクトルは、右手系と左手系が入れ替わるような座標変換に対しては、その符号を入れ替わるのでした。（擬ベクトルを、軸性ベクトルとも呼びます。）擬テンソルのこの性質を高階のテンソルにまで一般化し、やはり右手系・左手系の交換に伴って符号を変えるような量を、 *擬テンソル* と呼びます。擬テンソルの一般的な定義は、この座標変換を表わす行列の行列式 ${\rm det}|A|$ を用いて、次のように定式化します。
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = {\rm det}|\alpha | \alpha_{i_{1}i_{2}...i_{n}j_{1}j_{2}...j_{n}} A^{j_{1}j_{2}...j_{n}} \tag{3}
</tex>
この ${\rm det}|\alpha |$ が、 $\pm$ になることを次のセクションで確認します。
座標変換の行列式
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まずはベクトルの変換から考えます。直交座標系で考え、座標変換前の基底ベクトル $(\bm{{i}_{i}},\bm{{i}_{j}},\bm{{i}_{k}})$ 、変換後の基底ベクトルを $(\bm{{i'}_{i}},\bm{{i'}_{j}},\bm{{i'}_{k}})$ とします。直交座標系で考えているので、基底については次の関係式がなりたちます。
<tex>
\bm{i_{i}}\cdot \bm{i_{j}}= \delta_{ij} =\begin{cases} \tag{4-1}
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
<tex>
\bm{{i'}_{i}}\cdot \bm{{i'}_{j}}= {\delta'}_{ij}= \begin{cases} \tag{4-2}
1 \ \ \ (i = j) &
\cr 0 \ \ \ (i \ne j)
\end{cases}
</tex>
また、新旧の座標系の間には、次図のような関係があります。図中 $\bm{r_{0}}$ は旧座標系の原点、 $\bm{{r'}_{0}}$ は新座標系の原点とします。
.. image:: Joh-TransVec1.gif
このとき次の関係式が分かるでしょう。
<tex>
\bm{r} = \bm{{r'}_{0}} + \bm{r'} \tag{5-1}
</tex>
<tex>
\bm{r'} = \bm{{r}_{0}} + \bm{r} \tag{5-2}
</tex>
これより、 $A_{1}\bm{i_{1}}+ A_{2}\bm{i_{2}} + A_{3}\bm{i_{3}}= {A'}_{1}\bm{{i'}_{1}}+ {A'}_{2}\bm{{i'}_{2}} + {A'}_{3}\bm{{i'}_{3}} $ として、成分に関して次式がなりたちます。ダッシュのつく位置に気をつけてください。両辺とも、縮約により $j$ について和を取る形になっています。
<tex>
A_{j}\bm{i_{j}} = {A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} + {A'}_{0j}\bm{i_{j}} \tag{6-1}
</tex>
<tex>
{A'}_{j}\bm{{i'}_{j}} = {A}_{j}\bm{{i}_{j}} + {A}_{0j}\bm{{i'}_{j}} \tag{6-2}
</tex>
式 $(6-1)$ の両辺に $\bm{i_{k}}$ を、式 $(6-2)$ の両辺に $\bm{{i'}_{k}}$ を作用させて内積を取ると、基底の直交関係より、次式を得ます。
<tex>
A_{k} = {A'}_{j}(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) + {A'}_{0k} \tag{7-1}
</tex>
<tex>
{A'}_{k} = {A}_{j}(\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}})+ {A}_{0k} \tag{7-2}
</tex>
次に、式 $(7-1)(7-2)$ 中の内積部分を、上手くテンソルの形に直すことを考えます。基底の変換則 $\bm{{i'}_{j}} = \alpha _{j'l} \bm{i_{l}}$ の両辺と $\bm{i_{k}}$ の内積を取ることで、式 $(7-1)$ 中の内積部分 $(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}})$ を次のように表わせるでしょう。
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i_{k}}) & = (\alpha _{j'i} \bm{i_{i}}) \cdot \bm{i_{k}} \\
& = \alpha_{j'k}
</tex>
同様に、 $\bm{{i}_{j}} \cdot \bm{{i'}_{k}} =\bm{{i}_{j}} \cdot (\alpha_{k'i} \bm{{i}_{i}} )= \alpha_{jk'}$ となります。一方、 $\bm{{i'}_{j}} = \alpha _{j'l} \bm{i_{l}}$ の両辺と $\bm{i'_{k}}$ の内積を取ると次式を得ます。
<tex>
(\bm{{i'}_{j}} \cdot \bm{i'_{k}}) & = (\alpha _{j'l} \bm{i_{l}}) \cdot (\alpha _{k'm} \bm{i_{m}}) \\
& = \alpha _{j'l} \alpha _{k'm} \delta_{lm} \\
& = \alpha _{j'm} \alpha _{k'm} \\
& = \delta_{j'k'} \tag{8}
</tex>
導出が長くなりましたが、式 $(8)$ が求めていた式です。テンソルの関係式 $ \alpha _{j'm} \alpha _{k'm} = \delta_{j'k'}$ を行列の形に書き換え、両辺の行列式を取ります。
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} \alpha _{k'm} ]= {\rm det} [\delta_{j'k'}]=1
</tex>
クロネッカーのデルタの行列式は添字に関わらず $1$ です。また、 $[\alpha _{j'm}]$ と $[ \alpha _{k'm} ]$ の行列式は同じはずですから、左辺は $({\rm det} [\alpha _{j'm} ])^{2}$ だと考えても良く、結局次式を得ます。
<tex>
{\rm det} [\alpha _{j'm} ]= \pm 1
</tex>
式 $(3)$ は次のように書けます。
<tex>
{A'}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = \pm \alpha_{i_{1}i_{2}...i_{n}j_{1}j_{2}...j_{n}} A^{j_{1}j_{2}...j_{n}} \tag{9}
</tex>
式 $(3)$ もしくは式 $(9)$ を擬テンソルの定義式とします。符号は、右手系と左手系が入れ替わる座標変換においては $-1$ 、右手系と左手系が入れかわらない座標変換においては $+1$ に取ります。
.. _反対称テンソルと軸性ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/PolarvectorAntisymtensor/
.. _スカラー三重積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Triprod/
.. _ベクトルからテンソルを作る: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/TensorFromVector/
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-03-11@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: Pseudotensor@@
記事ソース/擬テンソル の変更点
