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外微分
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三次元ユークリッド空間 $R^{3}$ 上の外積代数を考えると、微分形式として次の $4$ つを定義できました。
【零次微分形式】
ただの関数。 $f(x,y,z),g(x,y,z)$ など。
【一次微分形式】
<tex>
\omega_{1} = f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz \tag{1}
</tex>
【二次微分形式】
<tex>
\omega_{2} = P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy
\tag{2}
</tex>
【三次微分形式】
<tex>
\omega_{3} = \Theta (x,y,z)dx \land dy \land dz \tag{3}
</tex>
それぞれ、 $1,\ \ dx,dy,dz,\ \ dx\land dy,dy\land dz,dz\land dx,\ \ dx\land dy\land dz$ を基底とするベクトルの形になっていることを、もう一度確認して下さい。（零次微分形式はスカラーに相当。）さて、基底の次数別に何次微分形式などと呼び分けていますが、これらは異なる次数の外積空間の元ですので、言ってみれば、違う世界に住んでいるようなものです。
次数の異なる微分形式の間には、どのような関係があるのでしょうか？（まさか何の関係も無いというわけはなさそうですよね。）
外微分
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実は、 *外微分* という演算によって、次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます。零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式、一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式、二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に、外微分を行うことで、微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます。
.. [*] この段階では、まだ外微分とは何か、具体的に示していませんので、『そのような関係を与える写像を入れることが出来る』というような言い方に留めておいた方が正確でしょう。しかし、すぐに示すように、外微分も、今までよく知っている微分によく似た計算です。
いきなりですが、関数の全微分を求める計算を思い出しましょう。ただの関数は零次微分形式ですから、 $\omega_{0}=f(x,y,z)$ と置きましょう。この *全微分* が次のように書けることは、既に微積分学でお馴染みだと思います。
<tex>
d\omega_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{4}
</tex>
よく見ると、これは一次微分形式の形になっていますね。そこで、関数の全微分を求める計算は、『零次微分形式→一次微分形式』という写像だと考えることも出来るわけです。いまから考える外微分という計算も、関数の全微分を、もっと高次の微分形式にも拡張したものだと考えて下さい。以下の $5$ つのルールに基づく演算を *外微分* だと定義します。
.. [*] 今までの人生で、全微分を計算したことは何度もあると思いますが、『零次微分形式から一次微分形式への写像』をしていたとは気がつかなかったかもしりません。次からは、全微分を見たら一次微分形式だと思ってみましょう。
.. admonition:: definition
1. $0$ 次微分形式 $\omega _{0}=f$ に対し、 $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz$ とする。
2. $1$ 次微分形式 $\omega _{1}= fdx+gdy+hdz$ に対し、 $d\omega = df \land dx+df \land dy +df \land dz$ とする。
3. $2$ 次微分形式 $\omega _{2}= Pdy \land dz + Q dz \land dx + R dx \land dy$ に対して、 $d\omega = dP \land dy \land dz + dQ \land dz \land dx + dR \land dx \land dy $ とする。
4. $3$ 次微分形式 $\omega _{3}= \Theta dx \land dy \land dz$ に対して、 $d\omega = d\Theta \land dx \land dy \land dz \ (=0)$ とする。
5. 任意の次数の微分形式について $d(d\omega)=0$ とする。
五番目の性質は、 ポアンカレの補題_ として知られるもので、二回連続で外微分を取れば、どんな微分形式でも零になるという主張です。この性質は、また稿を改めて考えます。まず、一次微分形式の外微分を実際に計算してみましょう。（途中で $dx \land dx =0, \ \ dx \land dy = -dy \land dx$ などの性質に注意して下さい。）
<tex>
d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\
& = df \land dx + dg \land dy + dh \land dz \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}dx +
\frac{\partial f}{\partial y}dy +
\frac{\partial f}{\partial z}dz \right) \land dx
+
\left( \frac{\partial g}{\partial x}dx +
\frac{\partial g}{\partial y}dy +
\frac{\partial g}{\partial z}dz \right) \land dy
+
\left( \frac{\partial h}{\partial x}dx +
\frac{\partial h}{\partial y}dy +
\frac{\partial h}{\partial z}dz \right) \land dz \\
&= \frac{\partial f}{\partial y}dy \land dx
+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \land dx
+ \frac{\partial g}{\partial x}dx \land dy
+ \frac{\partial g}{\partial z}dz \land dy
+ \frac{\partial h}{\partial x}dx \land dz
+ \frac{\partial h}{\partial y}dy \land dz \\
&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z} \right) dy \land dz +
\left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x} \right)
dz \land dx +
\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}
\right) dx \land dy \tag{5}
</tex>
確かに、 $d\omega_{1}$ は二次微分形式になっていることが分かります。次に、二次微分形式の外微分も計算してみます。
<tex>
d\omega _{2} & =
d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy) \\
&= dP \land dy \land dz +dQ \land dz \land dx +dR \land dx \land dy \\
&= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx +
\frac{\partial P}{\partial y}dy +
\frac{\partial P}{\partial z}dz \right) \land dy \land dz
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx +
\frac{\partial Q}{\partial y}dy +
\frac{\partial Q}{\partial z}dz \right) \land dz \land dx
+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx +
\frac{\partial R}{\partial y}dy +
\frac{\partial R}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \\
&= \frac{\partial P}{\partial x}dx \land dy \land dz
+ \frac{\partial Q}{\partial y}dy \land dz \land dx
+ \frac{\partial R}{\partial z}dz \land dx \land dy \\
&= \left(
\frac{\partial P}{\partial x}
+ \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land dz \tag{6}
</tex>
これは三次微分形式になっています。最後の段で、基底の順列と符号にだけ気をつけてください。では、最後に三次微分形式の外微分が $0$ になることを確認してみましょう。
<tex>
d\omega_{3} &= d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\
&= d\Theta \land dx \land dy \land dz \\
&= \left(
\frac{\partial \Theta}{\partial x} dx
+ \frac{\partial \Theta}{\partial y}dy
+ \frac{\partial \Theta}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \land dz \\
& = 0 \tag{7}
</tex>
三次微分形式の外微分が $0$ になるのは、 $R^{3}$ 上の微分形式を考えているからです。一般に、 $\land^{n}R^{n}$ の元の外微分は $0$ になります。微分形式の外微分を取ると、微分形式の次数が一つ上がるという点を確認して下さい。
.. important::
外微分は微分形式の次数を一つ上げます。（写像 $d: \ \land ^{k}R^{n} \ \longmapsto \ \land^{k+1}R^{n}$ になっています。）
.. [*] 式 $(4)(5)(6)$ の成分を見て、 ${\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div}$ の計算に似ていると思った人はなかなか鋭いです。ベクトル解析に出てきた ${\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div}$ が外微分に対応することは、 `もう一度grad,div,rot`_ で示します。
練習問題
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式 $(5)$ と式 $(6)$ にもう一回外微分を施し、 $d(d\omega)=0$ が成り立っていることを確認してみて下さい。
全微分の座標不変性
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あまり考えたことがなかったかも知れませんが、全微分は座標系によりません。
<tex>
df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz
</tex>
もし、適当な座標変換をして $x=x(u,v,z), \ y=y(u,v,z), \ z=z(u,v,w)$ と変数変換できるとすれば、合成関数の微分公式により、次のような式変形が可能です。
<tex>
df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \\
& = \frac{\partial f}{\partial x}\left( \frac{\partial x}{\partial u}du
+ \frac{\partial x}{\partial v}dv
+ \frac{\partial x}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial y}
\left( \frac{\partial y}{\partial u}du
+ \frac{\partial y}{\partial v}dv
+ \frac{\partial y}{\partial w}dw \right)
+ \frac{\partial f}{\partial z}
\left( \frac{\partial z}{\partial u}du
+ \frac{\partial z}{\partial v}dv
+ \frac{\partial z}{\partial w}dw \right) \\
& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}
\right) du +
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v}
\right) dv
+
\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w}
+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w}
+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}
\right) dw \\
&= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw
</tex>
これより $\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz=df= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw $ と書くことが出来ます。これはどういうことかと言えば、適当な座標変換 $(x,y,z)\longmapsto (u,v,w)$ の下で、全微分 $df$ が不変だということです。
.. admonition:: theorem
全微分は、座標変換に対して不変です。
薄々予想されることですが、全微分の持つこの性質は、全微分を拡張したものである外微分にも引き継がれています。後ほど、 外微分の座標不変性_ で詳しく考えてみる予定ですので、その準備として、とりあえず全微分の座標不変性を確認しておいて下さい。
.. [*] もちろん、ここで用いた座標変換とは、 $(x,y,z)$ と $(u,v,w)$ を相互に関係付ける、滑らかな（少なくとも $C^{1}$ 級の）関数による写像を意味しています。あんまり変チクリンな座標変換は考えません。しかし、あとで 微分形式の引き戻し_ で考えるように、微分形式で考える座標変換は変数の次数が変わる場合（例えば $(x,y)\longmapsto (u,v,w)$ ）でも、写像が滑らかでさえあれば微分形式を不変に保ちます。通常のテンソル解析では同じ次数の可逆な変換（直交変換など）しか考えなかったことと比べると、微分形式の方がかなり自由度が高そうです。
.. _ポアンカレの補題: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/PoiancareLemma/
.. _外微分の座標不変性: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/ExteriorDiffInvariant/
.. _`もう一度grad,div,rot`: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsGradDivRot/
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsPullback1
@@author:Joh@@
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@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: ExteriorDiff@@
記事ソース/外微分 の変更点
