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ルジャンドル変換で結ばれた四つのエネルギー関数
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この記事ではラグランジアン $L$ とハミルトニアン $H$ のルジャンドル変換を
応用して、 $q, \dot{q}, p, \dot{p}$ の間の変換行列を求めます。
復習
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まず、微分形がはっきりしている、ハミルトニアン $H$ の微分を求めます。
ハミルトニアンは
<tex>
dH &= \dfrac{\partial H}{\partial q} dq + \dfrac{\partial H}{\partial p} dp \\
&= -\dot{p} dq + \dot{q} dp
\tag{##}
</tex>
ハミルトニアンの自然な変数は $q,p$ です。( $dq,dp$ の式だからです。)
<tex>
\dfrac{\partial H}{\partial p} &= \dot{q} \\
\dfrac{\partial H}{\partial q} &= -\dot{p}
\tag{##}
</tex>
が言えます。次にラグランジアンを調べます。
すると、 $L= p\dot{q} -H$ ですから、
<tex>
dL &= d(p\dot{q} -H) \\
&=(\dot{q}dp + p d\dot{q}) - (-\dot{p} dq + \dot{q} dp) \\
&= p d\dot{q} + \dot{p} dq \\
&= \dfrac{\partial L}{\partial q} dq + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} d\dot{q} \\
\tag{##}
</tex>
となり、ラグランジアンの自然な変数は $q,\dot{q}$ です。
<tex>
\dfrac{\partial L}{\partial q} &= \dot{p} \\
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} &= p
\tag{##}
</tex>
この形から $p$ を消去すると、オイラーラグランジュ方程式が得られます。
<tex>
&\dot{p} = \dfrac{\partial L}{\partial q} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \\
&\dfrac{\partial L}{\partial q} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0
\tag{##}
</tex>
運動に関する情報は全て $L$ に入っています。ルジャンドル変換は情報を落とさないので、
他のエネルギー関数についても同様です。
新しいエネルギー関数
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ラグランジアンからハミルトニアンを求めるとき、 $\dot{q}$ を消去して $(q,\dot{q}) \to (q,p)$ の変数変換を行いました。
それならば、次の様にしては如何でしょう？
<tex>
X &= q \dot{p} -L \\
dX &= (q d \dot{p} + \dot{p} dq) - ( p d\dot{q} + \dot{p} dq ) \\
&= q d \dot{p} - p d \dot{q}
\tag{##}
</tex>
こうすると、 $q$ を消去して $(q,\dot{q}) \to (\dot{q},\dot{p})$ の変数変換を行ったことになります。
式 $(6)$ からは、
<tex>
\dfrac{\partial X}{\partial \dot{q}} &= -p \\
\dfrac{\partial X}{\partial \dot{p}} &= q
\tag{##}
</tex>
この関数 $X$ は今回はあまり重要ではありません。
欲しいのは $p,\dot{p}$ を変数に持つ関数です。
それを $Y$ とすると、
<tex>
Y &= p \dot{q} + X \\
&= p \dot{q} + \dot{p} q - L \\
&= \dfrac{d}{dt}(pq) - L
\tag{##}
</tex>
すると、その微分は
<tex>
dY &= (\dot{q} dp + p d \dot{q}) - (-q d \dot{p} + p d \dot{q}) \\
&= \dot{q}dp + q d \dot{p}
\tag{##}
</tex>
となり、
<tex>
\dfrac{\partial Y}{\partial p} &= \dot{q} \\
\dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} &= q
\tag{##}
</tex>
となります。
オイラーラグランジュ方程式をこれに対しても作ることが出来て、
<tex>
&\dot{q} = \dfrac{\partial Y}{\partial p} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\
&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0
\tag{##}
</tex>
となります。
変換行列
==============
本来 $\dot{p},p$ で書かれる $Y$ を $q,\dot{q}$ で書けると便利です。
その変換行列はヤコビ行列、
<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}}
\end{pmatrix}
\equiv
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
\tag{##}
</tex>
で書けます。これとその逆行列を求めるのがこの記事の主内容です。
訳あって行ベクトルで書きますが、
これが出来ると、
<tex>
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial}{\partial p} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q} & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial Y}{\partial p} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} q & \dot{q} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
などと出来ます。
ここで $L,H,X,Y$ の微分をリストにしておきます。
<tex>
dL &= \dot{p} dq + p d\dot{q} \\
dH &= -\dot{p} dq + \dot{q} dp \\
dX &= -p d \dot{q} + q d \dot{p} \\
dY &= q d \dot{p} + \dot{q} dp
\tag{##}
</tex>
です。式 $(12)$ は次のように書けます。
<tex>
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) \\
\dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
一価関数の偏微分は交換できることを使いました。
この逆行列はどうなるでしょう？
<tex>
\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(\dot{p},p)}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\
\dfrac{\partial \dot{q}}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\
\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right)
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
が成立します。
後は、他にも $A = \dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})}$ など欲しいかもしれません。
ここで、何が独立変数で何が従属変数なのか、整理して
おきましょう。 $A$ は、 $q,\dot{q}$ の関数で、
分子は引数を明示すると $q(q,\dot{q}),p(q,\dot{q})$ の引数を取る関数です。
ここで明らかに、 $q(q,\dot{q})=q(q)$
ですから、 $\dfrac{\partial q}{\partial q}=1$
かつ $\dfrac{\partial q}{\partial \dot{q}}=0$ となります。
それを踏まえると、
<tex>
\dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q} \partial \dot{p}} \\
-\dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{q}} & -\dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
逆行列は、今度は $q,p$ の関数で $q=q(q,p) = q(q)$ ですから、 $\dfrac{\partial q}{\partial q}=1,\dfrac{\partial q}{\partial p} = 0$ となります。
逆行列は、
<tex>
\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(q,p)}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\
\dfrac{\partial \dot{q}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\dfrac{\partial^2 H}{\partial q \partial p} & \dfrac{\partial^2 H}{\partial p^2}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p \partial \dot{p}} \\
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。
となります。注意として、偏微分をする際の固定方向が異なる為に、 $\dfrac{\partial q}{\partial q}=1$ 等は言えないようです
これらの行列は、偏微分演算子の行ベクトルに対してだけでなく、
例えば、式 $(12)$ だと微分の列ベクトルに対しても、
<tex>
\begin{pmatrix}
d \dot{p} \\
d p
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
\begin{pmatrix}
dq \\
d \dot{q}
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
d \dot{p} \\
d p
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dq \\
d \dot{q}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>
等と言う使い方もできます。
今まで、これらの変換は、専ら $L,H$ の偏微分だけで考えていましたが、
この記事によれば、 $X,Y$ も用いることでより便利に扱えます。
具体例（調和振動子）
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具体的な例で結果を確認しておきましょう。 $Y$
は、 $\dot{p},p$ で表すべき関数で、
<tex>
H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 \tag{##}
</tex>
とすると、
<tex>
\dfrac{\partial H}{\partial q} = kq = -\dot{p} \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
Y &= \dot{p}q + H \\
&= \dfrac{-\dot{p}^2}{k} + \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2 \\
&= \dfrac{p^2}{2m} - \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2
\tag{##}
</tex>
だから、これを解くと、
<tex>
&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0 \\
&\dfrac{p}{m} + \dfrac{\ddot{p}}{k} = 0 \\
&\ddot{p} = -\dfrac{k}{m}p = - \omega^2 p
\tag{##}
</tex>
となり、確かに、
<tex>
p = p_0 \sin(\omega t + \phi_0) \tag{##}
</tex>
と振動解が得られます。
今日はこの辺で、お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-02@@
@@category:解析力学@@
@@id:fourEnergies@@
記事ソース/ルジャンドル変換で結ばれた四つのエネルギー関数 の変更点
