物理のかぎしっぽ 記事ソース/リー環の随伴表現とは の変更点

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 リー環の随伴表現とは
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 リー環とは
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 リー環、もしくは、同じものですがリー代数 $X_a$ において、交換子から定まる構造定数 $f_{ab}^{ \ \ c}$ を
 次の様に定めます。
 
 <tex>
 [X_a,X_b] = i f_{ab}^{ \ \ c} X_c \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、 $i$ は虚数単位で、交換子は $[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a$ を表します。
 また、アインシュタインの縮約規則を用いて、 $c$ は全ての元にわたる和です。
 
 リー環というと、特定の代数演算の関係が決められた抽象的な
 代数ですが、それと同じ関係を満たす行列で具体的に表すことができます。
 その代数の行列化をリー環の「表現」と言います。
 表現にはいろいろな種類がありますが、その中で今回は随伴表現 $\rho(X_a)_b^{ \ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c}$ というものを紹介します。
 ここで、 $\rho(X_a)$ は表現(行列)で $\rho(X_a)_b^{ \ \ c}$ は行列の成分で $b$ は行列の行、 $c$ は行列の列を指定します。
 不思議な事にこれは元のリー環の一つの表現になっているのです。
 
 ヤコビ積
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 リー環には、交換子からなるヤコビ恒等式があります。
 それは、
 
 <tex>
 Z = [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] = 0 \tag{##}
 </tex>
 
 という任意のリー環に対して恒等的に成り立つ関係式です。
 ただし、右辺の $0$ はリー環のゼロ元です。
 この関係は、実際に行列を持ち出すことなく、
 代数的に展開してやれば、確認できます。
 
 さて、式 $(2)$ を式 $(1)$ の関係を用いて、
 変形していきましょう。
 
 <tex>
 [X_a,[X_b,X_c]] 
 &= [X_a,i f_{bc}^{ \ \ d} X_d] \\
 &= i f_{bc}^{ \ \ d} [X_a,X_d] \\
 &= i^2 f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e \\
 &= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e
 \tag{##}
 </tex>
 
 の様に計算していくと、ヤコビ恒等式は、
 
 <tex>
 Z = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} X_e - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} X_e
 \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、任意の $e$ に対して、上式は成立するので、 $X_e$ を除いて、
 
 <tex>
 Z^\prime = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e}
 \tag{##}
 </tex>
 
 
 随伴表現
 ==============
 
 さて、随伴表現との対応を見てみましょう。
 
 <tex>
 \rho(X_a)_b^{ \ c} = - i f_{ab}^{ \ \ c}
 \tag{##}
 </tex>
 
 の様に決めると、式 $(5)$ は、
 
 <tex>
 Z^\prime 
 &= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} \\
 &= (-i f_{bc}^{ \ \ d})(-i f_{ad}^{ \ \ e}) + (-i f_{ab}^{ \ \ d})(-i f_{cd}^{ \ \ e}) + (-i f_{ca}^{ \ \ d})(-i f_{bd}^{ \ \ e}) \\
 &= \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} + \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
 \tag{##}
 </tex>
 
 ここで全体の符号を反転させて、 $f_{ab}^{ \ \ c} = -f_{ba}^{ \ \ c}$ の関係を使うと(これは構造定数が交換子から作られていて、 $[X_a,X_b] = - [X_b,X_a]$ であることから出ます。)、 $\rho(X_a)_b^{ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c}$ より $\rho(X_a)_b^{ \ c} = - \rho(X_b)_a^{ \ c}$ が言えるので、
 
 <tex>
 -Z^\prime 
 &= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} - \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} - \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
 &= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} + \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
 &=   \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
 &=   \rho(X_a X_b)_c^{ \ e} - \rho(X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
 &=   \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
 &= 0
 \tag{##}
 </tex>
 
 となり、よって、
 
 <tex>
 \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} = i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
 \tag{##}
 </tex>
 
 ですから、これは、リー環が満たす代数関係
 
 <tex>
 [X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a = i f_{ab}^{ \ \ d} X_d
 \tag{##}
 </tex>
 
 に対応しています。(単連結な)リー代数の構造は構造定数によって、
 完全に決定されます。よって、 $\rho(X_a)$ はリー環の表現だと分かります。
 
 具体例(su(2)とso(3))
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 最後に具体例として、同じ構造定数を持つ $\mathfrak{su}(2)$ と $\mathfrak{so}(3)$ の随伴表現を
 見て終わりにします。その構造定数は例えば、パウリ行列 $\sigma_a$ が
 
 <tex>
 \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\
 \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\
 \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 
 \tag{##}
 </tex>
 
 で、
 
 <tex>
 X_1 &= (1/2)\sigma_1 \\
 X_2 &= (1/2)\sigma_2 \\
 X_3 &= (1/2)\sigma_3
 \tag{##}
 </tex>
 
 とすれば、
 
 <tex>
 [X_1,X_2] &= i X_3 \\
 [X_2,X_3] &= i X_1 \\
 [X_3,X_1] &= i X_2 
 \tag{##}
 </tex>
 
 より、ゼロにならないのは、
 
 <tex>
 f_{12}^{ \ \ 3} = f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1
 f_{13}^{ \ \ 2} = f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1
 f_{12}^{ \ \ 3} &= f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1 \\
 f_{13}^{ \ \ 2} &= f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1
 \tag{##}
 </tex>
 
 と分かるので、随伴表現の行列 $J_a$ は、
 
 <tex>
 J_1 
 &= \begin{pmatrix} -if_{11}^{ \ \ 1} & -if_{11}^{ \ \ 2} & -if_{11}^{ \ \ 3} \\ -if_{12}^{ \ \ 1} & -if_{12}^{ \ \ 2} & -if_{12}^{ \ \ 3} \\ -if_{13}^{ \ \ 1} & -if_{13}^{ \ \ 2} & -if_{13}^{ \ \ 3} \end{pmatrix} 
 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\
 J_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
 J_3 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 
 </tex>
 
 より、随伴表現が表現として成立しているか確かめると、
 確かに例えば、
 
 <tex>
 J_1 J_2 - J_2 J_1 
 &= 
    \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} 
   -\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\
 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
 &= i J_3
 \tag{##}
 </tex>
 
 となり、確かに元のリー代数と同じ構造定数を持つ表現になっていることが分かります。
 
 @@reference: ジョージアィ著 九後汰一郎訳,物理学におけるリー代数(原著第2版),吉岡書店,2010,p49 ,4842703571@@
 
 @@author:クロメル@@
 @@accept:2020-01-21@@
 @@category:微分・位相幾何学@@
 @@id:adjointRep@@
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