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ラグランジェの定理
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ここまでに、群の位数と、元の位数という、紛らわしい二つの言葉が出てきました。混乱しやすいので、もう一度定義をおさらいします。
1. 群の位数とは、群の元の数です。
2. 元の位数とは、群のある元を生成元として有限部分巡回群がつくれるとき、その部分巡回群の位数のことです。
では、先に進みましょう。
ラグランジェの定理
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有限群 $G$ の位数と、その部分群 $H$ の位数の間には、ラグランジェの定理と言われる美しい関係が成り立っています。
.. admonition:: theorem
群 $G$ の部分群の位数は、 $G$ の位数の約数になる。 $|G|=|G:H||H|$ 。
.. admonition:: proof
群 $G$ の部分群 $H$ による類別が $G=a_{1}H+a_{2}H+....+a_{r}H$ のように表わされるとします。 $G$ は有限群なので、有限個( $r$ 個としています)の類によって類別できるはずです。そこで位数について $|G|=r|H|$ の関係が言えます。 $r$ を $r=|G:H|$ と書くのでしたので、 $|G|=|G:H||H|$ が言えます。■
証明中では、当たり前と考えて言及しませんでしたが、各類に含まれる元の個数が $H$ の位数に等しいことが本質的に重要です。 $H$ から $a_{i}H$ の元を作る $a_{i}h$ という演算は一意的なので、 $H$ の元と $a_{i}H$ の元の間には一対一対応が成り立ち、元の個数は同じになるわけです。このあと軌道や中心という概念を勉強するとき、ラグランジェの定理が重宝しますので、覚えておくと良いでしょう。
.. [*] 実は 剰余類２_ で紹介した指数の定理 $|G:K|=|G:H||H:K|$ において $K=\{ e \} $ と置けばラグランジェの定理になります。
.. [*] ラグランジェの時代には群論はまだ完成していませんでしたが、既に幾つかの具体的な例について、ラグランジェはこの定理に気が付いていたということです。恐るべき慧眼です。
.. [*] このあたりの記号にまだ慣れていない人は、もう一度 剰余類_ や 完全代表系と商集合_ の記事を復習してください。
.. figure:: Joh-Lagrange.gif
(群論が生まれる前から群の概念に到達していたラグランジェ)
定理
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.. admonition:: theorem
位数が素数の有限群は巡回群であり、真部分群を持たない
.. admonition:: proof
群 $G$ の元 $a (\ne e)$ を生成元として、巡回部分群 $H$ を生成することを考えます。このとき、ラグランジェの定理により、 $|H|$ は $|G|$ の約数となるはずですが、 $|G|$ は素数( $P$ とする)ですから、 $|H|$ は $p$ か $1$ しかあり得ません。しかし、 $H$ には少なくとも $a$ と $e$ が含まれますので $|H|$ は $1$ ではなく、 $|H|=p$ が言えます。 $G$ の位数と部分群 $H$ の位数が等しいということは、 $H$ が $G$ 自身であるということです。従って、 $H$ は $G$ の真部分群ではないことが言えます。■
.. [*] 素数のことをよく $p$ で表わしますが、英語で素数を $prime \ number$ と言うので、その頭文字から来ています。
.. _剰余類２: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder2/
.. _完全代表系と商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FactorSet/
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: LagrangeanTheorem@@
記事ソース/ラグランジェの定理 の変更点
