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テイラー級数
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「テイラー展開すると…」なんて言葉が教科書によく出てきます．
これはテイラー級数で表す，という意味で使われています．
その頻出するテイラー級数を，簡単に紹介します．
テイラー級数
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つぎの無限級数
<tex>
f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots\\
&= f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
</tex>
を関数 $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー級数といいます．
マクローリン級数
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主に有限の $n$ で展開を止めて近似式として用います．
たいていは1次か2次程度で近似します．テイラー級数で $a=0$ のもの，すなわち
<tex>
f(x) &= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots\\
&= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
</tex>
をマクローリン級数といいます．でも単にテイラー級数と言った場合も，
このマクローリン級数を指すことが多いようです．
例
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例として， $\sin(x)$ の $x=0$ でのテイラー級数（マクローリン級数）を見てみます．
素直に公式に当てはめると
<tex>
\sin(x) = \sin(0)+\frac{\sin'(0)}{1!}x+\frac{\sin''(0)}{2!}x^2
+\frac{\sin'''(0)}{3!}x^3+\frac{\sin''''(0)}{4!}x^4+\cdots
</tex>
ここで
<tex>
\sin(0) &= 0\\
\sin'(0) &= \cos(0)=1\\
\sin''(0) &= \cos'(0)=-\sin(0)=0\\
\sin'''(0) &= \cos''(0)=-\sin'(0)=-\cos(0)=1\\
\sin'''(0) &= \cos''(0)=-\sin'(0)=-\cos(0)=-1\\
\sin''''(0) &= \cos'''(0)=-\sin''(0)=-\cos'(0)=\sin(0)=0
</tex>
ですから，
<tex>
\sin(x) &= 0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-1}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\cdots\\
&= x-\frac{x^3}{3!}+\cdots
</tex>
となります． $\sin^n(0)$ の微分を繰り返すと分かるように，
この先もずうっと偶数番目の項は消え，
奇数番目の項がプラスマイナスを繰り返しながら残るので，結局
<tex>
\sin(x) &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\\
&= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}
</tex>
となります．この右辺のように数列の無限個の和で表されるものを「べき級数」と呼びます．
この例で $\sin x$ をべき級数に変形したように，
ある関数をべき級数で表すことを「べき級数展開」と呼びます．
もう一つ
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また，物理では
<tex>
f(x+dx) &= f(x)+\frac{f'(x)}{1!}dx+\frac{f''(x)}{2!}(dx)^2+\cdots\\
&= f(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(dx)^n
</tex>
というテイラー級数も良く使われます．
@@author:崎間@@
@@accept:2004-05-10@@
@@category:物理数学@@
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記事ソース/テイラー級数 の変更点
