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ガウスの発散定理再考
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この記事では、ベクトル解析に出てきた ガウスの発散定理_ を微分形式の枠組みで考え直します。ガウスの発散定理は、ベクトル形では $\int \int \int \limits _{V} \nabla \cdot \bm{A} dV = \int \int \limits _{S} \bm{A} \cdot d\bm{S}$ と書けますが、ここでは $\bm{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ として、 $xyz$ 座標系で成分表示した形から議論を始めます。
.. admonition:: theorem
$\int \int \int \limits _{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) = \int \int \limits _{S} Pdydz + Qdzdx + R dxdy$
微分形式にしてみる
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まず、 $R^{3}$ 上の二次微分形式 $\omega$ を考えます。
<tex>
\omega = P dy \land dz + Q dz \land dx + R dx \land dy \tag{1}
</tex>
また、 $\omega$ の 外微分_ を求めておきます。もう、外微分の途中計算は省略します。
<tex>
d\omega = \left(
\frac{\partial P}{\partial x } +
\frac{\partial Q}{\partial y } +
\frac{\partial R}{\partial z }
\right)
dx \land dy \land dz \tag{2}
</tex>
領域 $V$ を $D$ と書き直し、 $V$ の境界（表面）である $S$ を $\partial D$ と命名することにします。これは、名前の付け替えに過ぎません。さて、式 $(1)(2)$ と、この新しい名前に従うと、ガウスの発散定理の両辺は次のように書き換えることができます。
<tex>
\int \limits _{\partial D} d\omega = \int \limits _{D} \omega \tag{3}
</tex>
微分形式で表現すると、かなりすっきりと表現できました。ところで、私達は 平面のグリーンの定理再考_ で、 平面のグリーンの定理_ も微分形式を使って書き直してみました。その表現は、次のようになるのでした。
<tex>
\int \limits _{\partial D} \omega = \int \limits _{D} d\omega \tag{4}
</tex>
なーんと、これは式 $(3)$ とまったく同じ形をしています！！つまり、これらは（ $\omega$ の階数に違いはありますが）どうやら同じ定理だったと考えることが出来そうです。
.. [*] ベクトル解析を勉強したとき個別に覚えていた定理に、微分形式によって統一的視点が与えられました。数学は、レベルが上がってくると、覚えることが減っていくようです。カリスマ収納上手主婦も、数学を勉強すれば、きっともっと収納上手になれることでしょう。なんのこっちゃ。
もちろん、まだ形が同じだからと言って、同じ定理なのだと断定することは出来ませんが、そのことは多様体を勉強したあとできちんと証明する予定です。平面のグリーンの定理、ガウスの発散定理と来れば、 次_ はストークスの定理ですね。この調子で、とりあえず ストークスの定理_ も微分形式で書き直してみましょうo(^ ^)o。
.. _次: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsStokesTheorem/
.. _ガウスの発散定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GaussDivTheorem/
.. _外微分: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/ExteriorDiff/
.. _平面のグリーンの定理再考: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsGreensTheorem/
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/GreensTheorem/
.. _微分形式の引き戻し: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsPullback1/
.. _`もう一度grad,div,rot`: http://www12.plala.or.jp/ksp/differentialforms/DiffFormsGradDivRot/
.. _ストークスの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StokesTheorem/
@@author:Joh@@
@@accept: @@
@@accept: 2006-11-13@@
@@category: 微分形式@@
@@id: DiffFormsGaussDivTheorem@@
記事ソース/ガウスの発散定理再考 の変更点
