物理のかぎしっぽ FrontPage のバックアップ差分(No.9)

#rst2hooktail_source
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 剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く
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 剛体の回転シリーズ番外編3です。
 せっかく番外編2で剛体のハミルトニアンを求めたので、
 剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない
 剛体の運動方程式を導いてみました。
 
 
 復習
 ===================
 
 まず、ハミルトニアンを確認します。
 剛体のハミルトニアンを次のようなものでした。
 
 <tex>
 H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
 &+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
 &+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{##}
 </tex>
 
 パラメータ $\lambda$ に対して、
 
 <tex>
 \dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{##}
 </tex>
 
 です。
 
 ハミルトニアンの運動量での微分
 =================================
 
 それでは、さっそく式 $(2)$ を求めてみましょう。
 
 <tex>
 \dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\
 &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
 &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} 
 \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、次のように $\alpha , \beta , \gamma$ を定義します。
 
 <tex>
 \alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{##}
 </tex>
 
 すると、式 $(4)$ は、次のようになります。
 
 <tex>
 \dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\  p_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi \tag{##}
 </tex>
 
 同様に、 $\dot{\theta}, \dot{\psi}$ についても、
 
 <tex>
 \dot{\theta} 
 &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\
 &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times (  \sin \theta \cos \psi) \\
 &= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \dot{\psi} 
 &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\
 &+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\
 &+ \frac{p_\psi}{I_z} \\
 &= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \  p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \  p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{##}
 </tex>
 
 これらを行列で表示すると、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} &
 \dot{\theta} &
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix}
 &=
 \begin{pmatrix}
 \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ 
 \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\
 -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \dfrac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &\equiv 
 V
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 となります。行列部分を、 $V$ で定義しました。
 
 ハミルトニアンの位置座標での微分
 =================================
 
 
 次は、式 $(3)$ を計算していきます。
 まずは $\dot{p}_\phi$ を求める作業から、これはハミルトニアンが $\phi$ を含まないので簡単ですね。
 
 <tex>
 \dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0 \tag{##}
 </tex>
 
 次に、 $\dot{p}_\theta$ を求めます。これは、すこし面倒です。
 
 <tex>
 \dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\
 &= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\
 &- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}
 (\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\
 &+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\
 &- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} 
 (\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\
 &= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \  p_\phi^2 \\
 &+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \  p_\phi p_\theta \\
 &- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \  p_\phi p_\psi \\
 &+ 0 \times p_\theta^2 \\
 &- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \  p_\theta p_\psi \\
 &+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \  p_\psi^2 \tag{##}
 </tex>
 
 式 $(12)$ を二次形式の行列を使って表すと、
 
 <tex>
 \dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\
 \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta  \\
 -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &\equiv 
 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \Theta 
 \begin{pmatrix} 
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 上の式の最後で、行列部分を $\Theta$ を使って定義しました。
 
 同様に、 $\dot{p}_\psi$ を求めると、
 
 <tex>
 \dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\
 &= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\
 &+ \frac{-1}{i_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\
 &= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2
 + \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \  p_\phi p_\theta \\
 &+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \  p_\phi p_\psi
 + \sin \psi \cos \psi \beta \  p_\theta^2 \\
 &+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi 
 - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \  p_\psi^2 \\
 &=
 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta & \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta \\
 \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \sin \psi \cos \psi \beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} \\
 \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} & 
 -\dfrac{\cos^2 \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta
  \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &\equiv
 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \Psi 
 \begin{pmatrix} 
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 となります。ちなみに、
 
 <tex>
 (\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha \tag{##}
 </tex>
 
 です。
 
 大まかな流れ
 ===================
 
 さて、これからの大まかな流れを書いていきます。まず、式 $(11)$ を逆に解きます。つまり、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi
 \end{pmatrix} 
 = V^{-1} 
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 を計算します。
 
 次にこれを使って式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $p_\lambda$ を消去します。
 さらに、式 $(17)$ を $t$ で微分して、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \dot{p}_\phi \\
 \dot{p}_\theta \\
 \dot{p}_\psi
 \end{pmatrix} 
 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) 
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} 
 + V^{-1}
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix} 
 \tag{##}
 </tex>
 
 最後に、これを 
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix} 
 </tex>
 
 について解けば、
 運動方程式が完成します。つまり、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix}
 =V\begin{pmatrix}
 \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
 \end{pmatrix}
 -V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、式 $(12)$ , $(14)$ , $(15)$ を使って、 $\dot{p}_\lambda$ を消去したことを強調して置きます。
 ちなみに、式 $(11)$ の両辺を $t$ で微分して、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix}
 =
 V\begin{pmatrix}
 \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
 \end{pmatrix}
 +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 そして、式 $(17)$ を使って、式 $(20)$ から、 $p_\lambda$ を消去したもの、つまり、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix}
 =
 V\begin{pmatrix}
 \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
 \end{pmatrix}
 +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} 
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 も見かけは違いますが、
 
 <tex>
 V V^{-1} = I \tag{##}
 </tex>
 
 の両辺を $t$ で微分してやれば、
 
 <tex>
 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} + V \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = 0 \tag{##}
 </tex>
 
 となって、同じ方程式を与えることが分かります。
 
 計算の実行
 ===================
 
 まず、さっき考えた通り、式 $(14)$ と式 $(15)$ から、 $\dot{p}_\lambda$ を消去します。
 それには $V$ の逆行列 $V^{-1}$ が必要ですので、それを求めます。 $V$ は次の形をしていました。
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} &
 \dot{\theta} &
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix}
 &=
 \begin{pmatrix}
 \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ 
 \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\
 -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \frac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \tag{11}
 </tex>
 
 長くなるので、計算過程は省略します。
 逆行列は、例えば余因子行列を求める方法で求めてください。
 
 <tex>
 \alpha \gamma - \sin^2 \psi \cos^2 \psi \beta = \frac{1}{I_x I_y}
 </tex>
 
 に注意すれば、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix}
 &=V^{-1}
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix}
 I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ 
 - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\
 I_z \cos \theta & 0 & I_z 
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 となります。
 すると、 正方行列の三連続積の展開_ を利用して、
 
 <tex>
 \dot{p}_\theta &=
 \begin{pmatrix}
 p_\phi &
 p_\theta &
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \Theta 
 \begin{pmatrix} 
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
 V^{-1}
 \Theta 
 V^{-1}
 \begin{pmatrix} 
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi} 
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta & -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta \\
 -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & 0 & 0 \\
 -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta & 0 & 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi} 
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 また、 $\dot{p}_\psi$ についても、
 
 <tex>
 \dot{p}_\psi 
 &=
 \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}
 \Psi 
 \begin{pmatrix} 
 p_\phi \\
 p_\theta \\
 p_\psi 
 \end{pmatrix} \\
 &=
 \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
 V^{-1}
 \Psi 
 V^{-1}
 \begin{pmatrix} 
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi} 
 \end{pmatrix}
 </tex>
 
 <tex>
 \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 -I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta & -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & 0 \\
 -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta & 0 \\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} 
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi} 
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 次に、 $V^{-1}$ の時間微分を求めます。記法の簡単のため、
 
 <tex>
 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = T \tag{##}
 </tex>
 
 とします。
 
 
 
 <tex>
 V^{-1} = 
 \begin{pmatrix}
 I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ 
 - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\
 I_z \cos \theta & 0 & I_z 
 \end{pmatrix} \tag{##}
 </tex>
 
 でしたので、
 
 <tex>
 \frac{\mathrm{d} \alpha }{\mathrm{d} t } = 2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t } = -2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{##}
 </tex>
 
 に注意すれば、
 
 <tex>
 T_{11} &= 2 (I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta ) \dot{\theta} \\
 &- 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 T_{12} &= T_{21} \\
 &= - \cos 2 \psi \sin \theta I_x I_y \beta \dot{\psi} - \sin \psi \cos \psi \cos \theta I_x I_y \beta \dot{\theta} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 T_{13} &= T_{31} \\ 
 &= -I_z \sin \theta \dot{\theta} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 T_{22} = 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 T_{23} = T_{32} = T_{33} = 0 \tag{##}
 </tex>
 
 ここで、
 
 <tex>
 \begin{pmatrix}
 \ddot{\phi} \\
 \ddot{\theta} \\
 \ddot{\psi}
 \end{pmatrix}
 &=
 V \Bigl( 
 \begin{pmatrix}
 \dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\
 \dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})
 \end{pmatrix}
 -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})
 \begin{pmatrix}
 \dot{\phi} \\
 \dot{\theta} \\
 \dot{\psi}
 \end{pmatrix} 
 \Bigr) \\
 &\equiv V \bm{x} \\
 &= V \begin{pmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
 x_3
 \end{pmatrix}
 \tag{##}
 </tex>
 
 のように、列ベクトル $\bm{x}$ を定義します。
 すると、
 
 <tex>
 x_1 &= ( 2I_z - 2 I_x I_y \gamma )\sin \theta \cos \theta \  \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta  \  \dot{\phi}\dot{\psi} \\
 &+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta \ \dot{\theta}^2 \\
 &+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta + I_z )\sin \theta \ \dot{\theta}\dot{\psi}
 </tex>
 
 <tex>
 x_2 &= (I_x I_y \gamma - I_z)\sin \theta \cos \theta \ \dot{\phi}^2 \\
 &+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta - I_z) \sin \theta  \  \dot{\phi}\dot{\psi} \\
 &- 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \  \dot{\theta}\dot{\psi}
 </tex>
 
 <tex>
 x_3 &= - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta \  \dot{\phi}^2 \\
 &+ (I_z - I_x I_y \cos 2 \psi \beta) \sin \theta \  \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \  \dot{\theta}^2
 </tex>
 
 となります。
 そして、この列ベクトルに $V$ をかければ良いのです。
 よって運動方程式は、
 
 <tex>
 \ddot{\phi} 
 &= \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}^2 \\
 &+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \{ I_z \alpha - I_x I_y \alpha (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ \frac{\sin 2 \psi}{2}\{I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
 &+ \frac{1}{\sin \theta}\{ 1 -I_x I_y (\frac{\cos^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y^2}) + I_z \alpha \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \ddot{\theta} 
 &= \frac{\sin 2 \theta}{2}\{ I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \} \ \dot{\phi}^2 \\
 &+ \sin \psi \cos \psi \cos \theta \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ \sin \theta \{ -1 +I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
 &+ \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{##}
 </tex>
 
 <tex>
 \ddot{\psi} 
 &= \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta \cos^2 \theta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \cos^2 \theta - \frac{2 I_x I_y}{I_z}\sin^2 \theta \} \ \dot{\phi}^2 \\ 
 &+ \left[ \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \{ I_x I_y \alpha(\alpha + \gamma) - I_z \alpha \} + \sin \theta \{ \frac{I_x I_y}{I_z}(\alpha + \gamma) + 1 \} \right] \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ \left[ \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \{ I_x I_y \alpha(\alpha + \gamma) - I_z \alpha \} + \sin \theta \{ \frac{I_x I_y}{I_z}(\alpha - \gamma) + 1 \} \right] \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\
 &+ \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\
 &+ \frac{I_x I_y}{2 I_z} \sin 2 \psi \beta \ \dot{\theta}^2 \tag{##}
 </tex>
 
 となります。
 
 それでは、今日はこの辺で。
 お疲れ様でした。
 
 
 
 
 
 .. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3MatricesProduct/
 
 @@author:クロメル@@
 @@accept:2010-03-03@@
 @@category:力学@@
 @@id:equationOfRigidHamiltonian@@
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