集合と位相ゼミ †
著者：Joh
目的 †
現代的な解析学（ε-δ論法）や位相幾何学、さらには微分幾何、関数解析などにつながるように、位相の概念と扱いに慣れること。抽象性が高い部分なので、大学でも挫折者が出やすいところです。少なくとも、抽象的な議論に慣れて、集合論ベースである、現代数学の思考方法に慣れましょう。夏には、位相のプロになって（プロは無理か・・・）美味しいビールを飲みます♪
方法 †
- ゼミ参加者を募る。
- 基本的に週まわりで記事を書く。
- なるべく全員何か書く。どうしても忙しい人は、査読だけでもＯＫ。
- 記事タイトルは、一応、教科書の目次に沿って、おおまかに決めます。
- できた順に査読へGo ←【今ココ】
さて、集合と位相ゼミでは実験的に、以下二つの「縛り」を入れてみたいと思います。
夏には集合と位相オフ会を開くと想定 †
とりあえず、飲まなければ始まりません。何かオフ会に良い副題を考えること。
（例：狂宴！位相祭り2007 〜 全員『集合』！）センスねぇ〜 (；´Д`)
負けないこと、投げ出さないこと、逃げ出さないこと、信じぬくこと。 †
参加方法 †
MLでメールしてください。
脱退方法 †
脱退は認められません。
推薦教科書 †
- 入門用
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- 本格派
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- 英語なら
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予定 †
集合論の基礎 †
- 位相の概念 (丹下[査読中])
- 集合論の基礎 (Joh [査読中])
- ド・モルガンの定理 (黒子 [査読中])
- 写像
単射、全射、恒等写像、逆像 (NOBU予定)
- 集合の濃度
可算集合、非可算集合 (Joh [査読中])
- 同値関係
類別、商集合 (Joh [査読中])
- 開集合と閉集合
- 内部、外部、境界、近傍
- 閉包
点列の収束と実数の連続性 †
- 点列の収束
- コーシー列
- 完備
- 区間縮小法
- ユークリッド空間 内積、ノルム、距離 (類似の既存記事があるのでJoh)
- シュヴァルツの不等式 三角不等式
- デデキントの切断
- 関数の連続性
ε-δ論法
- ボルツァノ＝ワイエルシュトラスの定理
- 点列コンパクト
距離空間 †
- 距離空間 (類似の既存記事があるのでJoh)
- 分離公理
- ハウスドルフ空間
- 離散距離空間
- 連続写像
- 同相写像
- 連結空間
- 完備距離空間
- ベールの稠密性定理
- ペアノ曲線
- 部分距離空間
- 完備化
位相空間 †
- 位相空間
- 直積空間と等化空間
- コンパクト
- 局所コンパクト空間
- コンパクト距離空間
Message 集合と位相のコメント欄 †
- (チャット会議について) 私は空いている時間帯ならOKです。ただ、議題がよく分かっていないのですが…。 -- 黒子
- Johさん＞そうですね。順序集合の記事でも書いてみましょうか。 -- 丹下
- 記事中で、勝手にリンクを貼ってしまったので、命題の真偽表の記事を書きました。論理学も集合論に関係あるので、少し並行して書き足していこうかと思います。 -- Joh
- みなさん＞ 集合論の部分はだいたい大丈夫でしょうか？
だいたい区切りの良い所で、チャット会議を開こうかとも思っていますが、どうでしょう。 -- Joh
- 丹下さん＞ では、オプションということで、順序構造もやりますか -- Joh
- NOBUさん＞ いえいえ、ゆっくりどうぞ。あまり負担になっても申し訳ないです。 -- Joh
- 一人出遅れていてすいません…。今週は余裕がありませんが来週からは余裕が出てくるので記事をアップしたいと思います。 -- NOBU
- 順序集合とかやりましたかねぇ。半順序とか数学ではよくでてきますが。概念自体そんなに大変なものではないのでやってもよいのではないでしょうか。位相にはつながりませんがツオルンの補題や選択公理とかいれてもよかったですね。僕もそれについては良く知らないので余裕があれば加えて記事を書くかもしれません。 -- 丹下
- 集合の濃度と、同値関係の記事をアップしました。集合論の残りの部分は、誰か他の方が担当してくださると嬉しいです カズさんとか、やりませんか？ -- Joh
- 丹下さん＞ 順序構造については、ほとんど黙認なのですが、いいんでしょうか？あんまり深い議論にはまってしまうのも恐いですが。数学科ではどのように勉強しますか？ -- Joh
- １章は集合、位相の準備、２章は点列収束を元にしたユークリッド空間の位相構造、３章は一般の距離空間の構造、４章はさらに一般の位相空間の構造という章立てですね。章が進むにつれて空間の制限がなくなりその分抽象化が増していきます。２章まで読んでも解析学における収束の概念ははっきりわかるようになっていますね。３章以降はより抽象度の高い空間が扱えるようになります。チャットについてはいつかやってみましょう。 -- 丹下
- ちょっと、章立てを補充・分離してみました。この分量だと、一つの章で2週間くらいでしょうか。どうでしょう だいたい、一区切り終わったところで、分からなかったところとか、変だと思うところを、一緒に議論できるといいと思います。やっぱ時間を決めてチャットかなぁ。。。 -- Joh
- 黒子さん＞ まさに、目的をはっきりしないで勉強を進める気持ち悪さが、この分野ではとてもあると思うのです。位相という概念の問題提起になったのは、解析学における、点列の収束です。このとき、『点列の間隔がどんどん狭くなる』という状態は直観的には明らかですが、実は、距離という概念を定義しなければ、間隔が狭くなるということはいえません。そこで、距離を先に定義すべきなのですが、点列の話を先にしたほうが、位相の勉強をするための問題提起がはっきりなされると思うのです。一楽先生の本も、そんな構成になってますよね。むぅむぅ -- Joh
- ＞Johさん こういうものを勉強するため本を最初から読んでいると、どうしてこの本は「○○」についていきなり説明を始めたのだろう？とよく思います。書いてあることをその場で納得することはできるのですが、目的がはっきりしないで勉強を進めるため、なんか気持ち悪さがありまあす。なので、目的をはっきりさせて記事の内容が進んでいくなら、私はどちらでも構わないです。強いてどちらかを選ぶなら、前者の方が良いと思っています(位相空間と距離空間の概念の違いを始めに示す方がわかりやすいと思うので)。 -- 黒子
- 本当は、点列の収束やコーシー列の話をする前に、距離とは何か？を決めるのが厳密なアプローチだと思うのですが、実数とユークリッド空間に話を限って、点列、極限、連続などの話を先にした方が、二度手間ですが、分かりやすいように思います。みなさん、どう思いますか？ -- Joh
- ＞黒子さん、二番目のは、論理学っぽいですね。一番目か、三番目の書き方に馴染みがあります。 -- Joh
- あと…補集合の表し方をどうすればいいのか悩んでいるので、皆さんのご意見をお聞かせください。私は以下の3つを知っていますが、どれをこれから使っていくのがベストだと思われますか？ -- 黒子
- 考えていたのは、全体集合・補集合・分配法則をひとつないしはふたつの記事にまとめて書き、ド・モルガンは独立させるというものです。ド・モルガンだけで記事を書くと内容が薄くなるかもしれませんが、記事内にコラムとして論理演算の話も書きたいと思ったのでド・モルガンだけで独立させようと考えていました。 やはり、全体集合と補集合の話が一緒にあったほうがいいですかね？？ -- 黒子
- ＞黒子さん、ド・モルガンの定理の守備範囲に、補集合、全体集合も入れて下さい。お願いします。分配法則とか、集合の演算は、まだ書いてないんですが、どこに入れましょうか？ -- Joh
- メッセージ欄を作ってみました 些細なことから、質問、議論、感想、連絡など、何にでも使ってください。 -- Joh
集合と位相ゼミ のバックアップ(No.36)
