執筆中/国際単位系の分かり難さについて(pulsar著) のバックアップ(No.5)
執筆中/国際単位系の分かり難さについて(pulsar著) のバックアップ(No.5)
これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．
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国際単位系の分かり難さについて
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国際単位系（Le Système International d'Unités, 以下SI）では
$\unit{J} = \unit{N \cdot m}$ と定めていますが，モーメントには $\unit{J}$ を使いません．
また， $\unit{Hz} = \unit{1/s} = \unit{Bq}$ で，振動数と放射能の組み立て単位が等しく
なります．このような分かり難さを減らすための工夫を考えてみましょう．「モーメントの単位は
$\unit{J/rad}$ でもよい」等の根拠について説明します．
仕事とモーメント
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仕事を力と変位の内積，モーメントを力と変位の外積で定義すると，組立単位が等しくなることは
避けられません．そこで，力と外積をとるのは変位でなく新しい物理量「回転半径」であると考え，
支点から力の作用点までの距離が $1\unit{m}$ であるときの回転半径を $1\unit{rm}$ (radius of
rotation in meter) とします．また，これに関連して $\unit{rad}$ の定義を
<tex>
\unit{rad} = \frac{\unit{m}}{\unit{rm}}
</tex>
に変更します．SIの $\unit{m}$ の一部を $\unit{rm}$ で置換することによって変わる点，変わら
ない点を以下に列挙します．
1. モーメントの単位は $\unit{N \cdot rm} = \unit{N \cdot m / rad} = \unit{J / rad}$ となり，
仕事の単位 $\unit{N \cdot m} = \unit{J}$ と区別できる．
2. 角速度の単位は $\unit{rad / s} = \unit{m / rm \cdot s}$ に変わる．
3. 角運動量の単位を $\unit{kg \cdot rm \cdot rad / s}$ と考えると，
$\unit{rm \cdot rad} = \unit{m}$ なのでSIと変わらない．
4. 立体角は回転半径が等しい点の集合（球面）の部分集合の面積なので，単位を
$\unit{sr} = \frac{\unit{m^2}}{\unit{rm^2}}$ に変更する．
5. 円や球に関連する量でも（角度と無関係の）長さ，面積，体積には $\unit{rm}$ を使わない．
この結果，モーメント $2\unit{J / rad}$ の偶力で $3\unit{rad}$ 回転させるのに要する仕事は
<tex>
(2\unit{J/rad}) \cdot (3\unit{rad}) = 6\unit{J}
</tex>
と計算できます．また，回転半径 $2\unit{rm}$ の円周上を等速運動する質点が $3\unit{rad}$
回転したときの移動距離は $(2\unit{rm}) \cdot (3\unit{rad}) = 6\unit{m}$ となります．
一応つじつまが合っていますが， $\unit{rad}$ を無次元でないとすると
<tex>
y = A \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{3}\unit{rad} \right)
</tex>
のように，実用上数式の表示が非常に煩わしくなります（無次元であれば単位不要）．
$\unit{rm}$ を用いると上記のようになるということを承知の上で $\unit{rm}= \unit{m}$ として
SI に従うのが現実的でしょう． $\unit{rad}$ は無次元ですから，回転半径の単位を $\unit{m/rad}$ ，
モーメントの単位を $\unit{J/rad}$ と表しても差し支えはありません．
回数と個数
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単位系の階層化
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あとがき
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SIに何の疑問も持たないのは問題ですが，本文の主張をそのまま納得するのはそれ以上に問題であるといえます．
他人の資料を参考にして自分の見解をもつことが大切です．
@@reference: hooktail.maxwell.jp/kagi/d2b89ba2b80f4f789e24020003801aa7.html,単位のお話(2) 国際単位系，物理のかぎしっぽ@@
@@reference: hooktail.maxwell.jp/kagi/b458e75b1f00ad260af2a79e05f90974.html,単位のお話(3) 組立単位，物理のかぎしっぽ@@
@@author: pulsar@@
@@accept: 執筆中@@
@@category: 力学@@
