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* 続・ベクトルの回転（クロメル著） [#y70e4256]
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''2007-01-15 (月) 02:33:20''
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続・ベクトルの回転
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行列の回転を三次平方行列で表すと、意外ときれいな形でまとまったので書いてみました.
ベクトルの回転の行列表現
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ではさっそく元の式を見てみましょう。
<tex>
\bm{r}^\prime=\bm{n} ( \bm{n} \cdot \bm{r} ) + [\bm{r}-( \bm{n} \cdot \bm{r} )] cos\phi+(\bm{n}\times\bm{r})sin\phi \tag{#def(maf)}
</tex>
ここで $ \bm{r}^\prime = \left( \begin{array}{c} r_{1}^\prime \\ r_{2}^\prime \\ r_{3}^\prime \end{array} \right) $ と, $ \bm{r} = \left( \begin{array}{c}r_{1} \\r_{2} \\r_{3} \end{array}\right) $ として, $ \bm{n} = \left( \begin{array}{c} l \\ m \\ n \end{array} \right) $ とすると,
<tex>
\left( \begin{array}{c}
r_{1}^\prime \\
r_{2}^\prime \\
r_{3}^\prime
\end{array} \right)
= [ \bm{n}\bm{n}+cos\phi(I-\bm{n}\bm{n})+sin\phi
\left( \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{array} \right) ]
\left( \begin{array}{c}
r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3}
\end{array} \right)
</tex>
ここで， $ I $ は三次正方単位行列，また $ \bm{n}\bm{n} = \left( \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}}ll & lm & ln \\ ml & mm & mn \\ nl & nm & nn \end{array} \right) $ となっていてこれをダイアドと呼びます。
ところで、 $ N = \left( \begin{array}{@{\,}ccc@{\,}}0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0\end{array} \right) $ と置くと、
なんと $ \bm{n}\bm{n} = N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I $ となります。
よって、最終的に次の形になります。
<tex>
\bm{r}^\prime = [ (N^2 +I)-cos \phi N^2+sin \phi N ] \bm{r}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-01-15@@
@@category:ベクトル解析@@
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