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* 「合成関数の微分」でいいのでは？ [#feaa126f]
|~ページ|[[査読/畳み込み積分の微分(クロメル著)]]|
|~投稿者|[[kuhcrow]]|
|~状態|#listbox3(感想,査読2,state)|
|~投稿日|2014-10-28 (火) 18:52:31|
** メッセージ [#wc086b70]
おつかれさまです。
(1)式の微分ですが、これって要するに「合成関数の微分」なのでは？
２変数の関数 F(x,y) で、yがxの関数 y=y(x) であるとき、
G(x)=F(x,y(x)) を xで微分すると
G(x)=F(x,y(x)) を xで微分すると~
DG(x)/Dx = DF(x,y(x))/Dx
= dF/dx + (dF/dy)*(Dy/Dx)
F(x,y)=(1)式の２つの x のうち１つを y にしたもの、
y(x) = x、とすれば(6)が得られます。
*** 2014-10-30 追記 [#x3334762]
＞ 僕の好みは後者のx,yに対して対称な方なのです。
個人的にはわざわざ複雑にしないでも、と思いますが、
お好みなら両方書いておくのはどうでしょうか？~
要は、２変数の関数 F(x,y) に、変数間の依存関係
y＝y(x) or x(s),y(s) を追加した G(x) or G(s) の微分を考えればよい、~
ということが分かればよいと思います。
＞ 陰関数表示ですか。それを利用する方法は興味があります。~
＞ どう表現したらよいのでしょう？
すいません。思いつきで言ってみたまでです。~
あまり実用的ではないと思います。
ところで、(1)式の微分、はなかなかよい問題ですね。~
実は微分自体は暗算ですぐにできたのだけど、
なぜそうなるかは結構考えさせられました。
*** 2014-11-01 追記 [#d61f12f8]
これが一番簡単？ 記号を変えておくのがみそ。
２変数の関数 F(X,Y) を考えると、その増分 ΔF は~
ΔF = (dF/dX)*ΔX + (dF/dY)*ΔY
G(x)=F(x,x) は F(X,Y) で X=x, Y=x としたものなので、ΔX=Δx, ΔY=Δx より~
ΔG = (dF/dX)*Δx + (dF/dY)*Δx
従って DG(x)/Dx = (dF/dX)(x,x) + (dF/dY)(x,x)
ここで (dF/dX)(x,x) は、F(X,Y) を X で偏微分したものに、
X=x, Y=y を代入したもの（こういうのはどう表記すればいいのでしょうか？）
● おまけ 〜 maxima でやってみた
#ref(conv.png,,70%)
最後の式の df(x^2,t)/dx は, f(x^2,t) を x で偏微分したものという意味でしょう。~
上のやり方では、 これをさらに x^2 も微分した x * (df/dX)(x^2,t) という結果になります。~
(df/dX) の dX がへんな気がしますが、要は「関数 f の最初の変数で微分した導関数」ということなので、 (df/dx)と同じことになります。
** 返答 [#dc40b8c1]
- お疲れ様です、kuhcrowさん^^。査読をありがとうございます。 そうですね、kuhcrowさんのおっしゃる通り、 そうやって書こうかとも思いましたが、 どうせなら、多変数関数の微分として、 パラメータsを導入して、x,y両変数を対称的に扱った方が、 美しいかな、と思い、現在の形（証明２）になったのですよ。 と、こんな感じで、返答になっていますでしょうか(^^;)？ -- [[クロメル]] &new{2014-10-28 (火) 20:43:51};
- こんばんは。内容はおまかせしますが、証明１、２とかだと、積分記号の x が x^2 になっただけで、パニクりませんか？ また対照的いうなら、陰関数表示の p(x, y)=0 も美しいですし。。。 -- [[kuhcrow]] &new{2014-10-28 (火) 21:24:07};
- ああ、確かに僕の証明１では対応が難しいですね。うーん、証明２ならば、x=s^2などとすれば良いと思います。ちょっと話が変わるかもしれませんが、これは二次元デカルト座標のグラフの曲線長を求める時に、L=∫√(1+(dy/dx)^2 )dxとするか、L=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )dtとするかの違いみたいなものだと思うのですよ。僕の好みは後者のx,yに対して対称な方なのです。すいません。むむ、陰関数表示ですか。それを利用する方法は興味があります。どう表現したらよいのでしょう？ -- [[クロメル]] &new{2014-10-28 (火) 22:31:31};
- こんばんは。上のページに追記しておきました。ではまた -- [[kuhcrow]] &new{2014-10-30 (木) 20:36:01};
- はい、こんばんは^^。記事に追加しておきました。アドバイスありがとうございました。 -- [[クロメル]] &new{2014-10-30 (木) 22:14:40};
- どうでもいいようなものですが、もう一案追加しました。「対称」で、 x(s),y(s)などひねりださなくてもすみます -- [[kuhcrow]] &new{2014-11-01 (土) 16:00:09};
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査読/畳み込み積分の微分(クロメル著)/1 のバックアップの現在との差分(No.6)
