査読/畳み込み積分の微分(クロメル著)/1 のバックアップ(No.15)
査読/畳み込み積分の微分(クロメル著)/1 のバックアップ(No.15)
| ページ | 査読/畳み込み積分の微分(クロメル著) |
|---|---|
| 投稿者 | kuhcrow |
| 状態 | |
| 投稿日 | 2014-10-28 (火) 18:52:31 |
おつかれさまです。 (1)式の微分ですが、これって要するに「合成関数の微分」なのでは？
２変数の関数 F(x,y) で、yがxの関数 y=y(x) であるとき、
G(x)=F(x,y(x)) を xで微分すると
DG(x)/Dx = DF(x,y(x))/Dx
= dF/dx + (dF/dy)*(Dy/Dx)
F(x,y)=(1)式の２つの x のうち１つを y にしたもの、 y(x) = x、とすれば(6)が得られます。
＞ 僕の好みは後者のx,yに対して対称な方なのです。
個人的にはわざわざ複雑にしないでも、と思いますが、
お好みなら両方書いておくのはどうでしょうか？
要は、２変数の関数 F(x,y) に、変数間の依存関係
y＝y(x) or x(s),y(s) を追加した G(x) or G(s) の微分を考えればよい、
ということが分かればよいと思います。
＞ 陰関数表示ですか。それを利用する方法は興味があります。
＞ どう表現したらよいのでしょう？
すいません。思いつきで言ってみたまでです。
あまり実用的ではないと思います。
ところで、(1)式の微分、はなかなかよい問題ですね。
実は微分自体は暗算ですぐにできたのだけど、
なぜそうなるかは結構考えさせられました。
これが一番簡単？ 記号を変えておくのがみそ。
２変数の関数 F(X,Y) を考えると、その増分 ΔF は
ΔF = (dF/dX)*ΔX + (dF/dY)*ΔY
G(x)=F(x,x) は F(X,Y) で X=x, Y=x としたものなので、ΔX=Δx, ΔY=Δx より
ΔG = (dF/dX)*Δx + (dF/dY)*Δx
従って DG(x)/Dx = (dF/dX)(x,x) + (dF/dY)(x,x)
ここで (dF/dX)(x,x) は、F(X,Y) を X で偏微分したものに、 X=x, Y=y を代入したもの（こういうのはどう表記すればいいのでしょうか？）
● おまけ 〜 maxima でやってみた
最後の式の df(x^2,t)/dx は, f(x^2,t) を x で偏微分したものという意味でしょう。
上のやり方では、 これをさらに x^2 も微分した x * (df/dX)(x^2,t) という結果になります。
(df/dX) の dX がへんな気がしますが、要は「関数 f の最初の変数で微分した導関数」ということなので、 (df/dx)と同じことになります。
