今更ですが †
メッセージ †
４元数について今更読んでみました(この時期僕は何をしてたのだろう？)。気になったところがあったので一応書いておきます。冒頭部分に書かれている「乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数というものを定義することが出来ます．」なんですけど、僕の認識ではハミルトンが虚数を拡張させたものでそんなネガティブなものではないという事です。更に４元数からスカラーとベクトルが定義されていったかと思います。僕は４元数については物理の本でチラッとしか見たことが無いのですが、これによってスカラーとベクトルの定義がより明確になりました。以上独り言でした。
最後になぜ今更読んだのか書いておきます。
角速度の計算にオイラー角を用いたのですが、オイラー角に関する記事は今のところありません。なので４元数を用いてみようかと思いました。しかし慣れてないのと、構成を丸々変えることになるのでとりあえずは諦めます。
返答 †
- 読んで頂いてありがとうございます。もちろん、ハミルトンの動機はそんなにネガティブなものではありません。彼は思いついたとき、大喜びで式を近くにあった橋に書き込んでしまったほどです。私は、四元数を定義するには、どうしても交換則を犠牲にする必要があるんです、ということを書いたつもりでした。ハミルトンの苦悩を表現したものではありません。例えば、５元数、６元数、７元数は定義不能ですが、８元数というのは定義可能です。ただし、８元数では交換則に加えて分配則が犠牲になります。次は１６元数が可能なんでしょうけど、これ以上演算規則が犠牲になったら、不便すぎますよね。１元数(実数)から２元数(複素数)への拡張が、たまたまうまくいっただけで、それ以上の超複素数では、だんだん演算規則が崩れていきますよ、ということを伝えたいのですが、こういった先の話も、続編の希望があれば書いてもいいですね。四元数から、スカラーとベクトルが定義される、というくだりは意味がよくわからないので、追加説明をお願いします。スカラーとベクトルで四元数を表現する方法については、本文中でも触れたつもりですが、私にはあれがベクトルの定義だとは思えないのですが。慣れてらっしゃらないということですが、4元数は行列に対応させることが出来ます。群として同じ構造をしているので。おこめさんなら、パウリのスピン行列とか、なんかそういうのをご存知なんじゃないでしょうか。あれと四元数は同じことです。 -- Joh
- ハミルトンは４元数の実数部分をスカラーと呼び、虚部をベクトルと呼ぶことにしました。その後、ベクトルとスカラーを切り離してベクトル解析（切り離したら自乗は正としようが負としようが事情は変わらない事はすぐに分かるかと思います。）がギブズとヘヴィサイドによって確立されました。僕が言いたかったのはそういうことです。４元数が３×３行列に対応する事は知っています。連続体力学の講義だったかと思いますが行列も対角成分のことをスカラー成分と言っていたかと思います（おそらくいい加減な説明）。 -- おこめ
査読/四元数（Joh著）/7 のバックアップ(No.6)
