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行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか？
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今回の話は短いです。気楽にお読みください。
(この話は、式（４）の後で $AA^{-1}$ が正則であると書いてありますが、
これは間違いでした。よって、修正できるまでお待ちください。)
逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ？
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ｎ次の正則な（つまり、逆行列を持つ）行列 $ A $ とその逆行列 $ A^{-1} $ の積は定義から、
<tex>
A^{-1}A=I \tag{##}
</tex>
です。 $I$ はｎ次の単位行列です。
ここで、私が気になったのは、
<tex>
AA^{-1}=? \tag{##}
</tex>
の値はどうなるかです。
計算してみましょう。
式 $(1)$ の左から $A$ 、右から $A^{-1}$ を掛けます。
すると、
<tex>
AA^{-1}AA^{-1} = AA^{-1} \tag{##}
</tex>
右辺を移項して、
<tex>
AA^{-1}AA^{-1} - AA^{-1} = (AA^{-1}-I)AA^{-1}=O \tag{##}
</tex>
最右辺はゼロ行列です。
右辺のランクは０であり、
左辺は $AA^{-1}$ はランクｎであり正則です。
一般に行列 $A$ と正則行列 $B$ について、 $ \rm{rank}(AB) = \rm{rank}A $ 、
となります。
よって、これから、左辺のランクと右辺のランクが等しく $0$ となるので、
<tex>
\rm{rank}((AA^{-1}-I)AA^{-1}) = \rm{rank}(AA^{-1}-I) = 0 \tag{##}
</tex>
よって、
<tex>
\rm{rank}(AA^{-1}-I)=0 \tag{##}
</tex>
すなわち、 $AA^{-1}-I$ はゼロ行列です。
よって、
<tex>
AA^{-1}=I \tag{##}
</tex>
となることが証明されました。
直交行列での実例
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例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、
<tex>
A = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という直交行列に対し、
<tex>
AA^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} \\
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=I \tag{##}
</tex>
と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。
これは、私は理屈では分かるのですが、
とても不思議だと思っています。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:comAA-1@@
査読/行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか？(クロメル著) のバックアップソース(No.4)
