* 確認！ [#i7548d45]
|~ページ|[[査読/ラグランジュの運動方程式を確認しよう!(佑弥著)]]|
|~投稿者|[[nemo]]|
|~状態|#listbox3(感想,査読2,state)|
|~投稿日|2007-03-16 (金) 17:55:38|
** メッセージ [#y7149e99]
執筆お疲れさまでした :)
いやはや、すごいですね♪
質問です。
よくわかっていないだけかもしれませんが
どうしてこれで任意の座標系でも成り立つことが
いえるんでしたっけ？
デカルト座標の時に成り立つことはわかりました。
以下は感想です。
もう少し途中式があってもいいかなぁと
思いました。これは僕の感想ですので
佑弥さんにおまかせします :)
** 返答 [#ef11306a]
- nemoさん.読んでくださってありがとうございます. 任意の座標系で成り立つといえるのは,運動方程式を導くときに特定の座標系を指定していないからです.つまり,これは,どんな座標系でも同じ式になるんだよ，ということですよね. 途中の式変形は,もう少し詳しくするかは悩んでいます. あんまり細かくして式の意味が分からなくなるのもいやですけど,式を飛ばしすぎてしまっても意味ないですし... もう少し考えて決めようと思います. -- [[佑弥]] &new{2007-03-16 (金) 21:16:27};
- 途中式については悩みますよね (^^;あっ、同じ式になることを言ってるだけなんですね！それはわかりました。でも”同じ運動”の方程式になっているのかも言えるんでしたっけ？すいません。すっかり忘れてしまっていて(汗) -- [[nemo]] &new{2007-03-16 (金) 21:36:00};
- うーん,難しいですね. この記事で,そこまではっきり出してないんですけど,出発点と終着点を決めてその間の曲線で議論してますよね.曲線が分かったとして少しずらしてみるという発想ですから,座標系によらず同じ曲線を指定することにはなると思います. 後は,同じ曲線上を同じ時間の間に動く運動を表すのだから同じ運動になるのではないか?という発想だと思います.（たぶん．．．） -- [[佑弥]] &new{2007-03-16 (金) 21:45:33};
- もう少しはっきりといえる気がしてきました.つまり,二つの式はまったく同じことの別表現なわけですから,同じ運動を表すといえることができますね. -- [[佑弥]] &new{2007-03-16 (金) 21:51:41};
- 公開希望が出てしまっているのに申し訳ないのですが、やはり本当にそれで言えるのでしょうか？座標系を指定して定義や計算をしているのなら言えないかなぁと思ってしまうのですが・・・。イメージとしては佑弥さんのおっしゃっているように停留曲線が運動を表していることは間違いなく座標に依らないのですが・・・。"運動を表す変数"がポイントなんでしょうか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 00:48:29};
- う〜ん・・・2点を決めてその間の経路を求めてるんだからいいんですねぇ。添え字をつけて定義されていると共変性の確認はやっておかないといけない気がしてしまって(汗)きっと私の勘違いかと思いますが(>_<) -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 00:57:35};
- 同じ式を表すということは理解なさっているのですよね．では，こう考えてはどうでしょうか?式が同値であるならそれをといた答えも同値なはずです．（そうでないと同じ式とは呼べません．）運動方程式の答えは運動をあらわす解となっているわけですから，答えが同じになるのだから，二つの式は同じ運動を表すことになります． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 08:30:01};
- 最初の経路の説明は下手な説明でしたから，無視してもらってかまわないです．混乱させてしまって申し訳ないです．．．． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 08:33:03};
- あと，一つ勘違いがあるかもしれそうなので確認させてください．一般座標変数についている添字は，座標系を指定するものではなくて，自由度ｎの運動を考えるにはｎ個の変数がいるから便宜的につけているものですよ．分かっておられるかもしれませんが，少しコメントが気になったので．．． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 08:53:49};
- いいえ。僕が全くわかっていないだけです。m(_ _)m式が同じ"形"になることまでは確認しました。自由度がn個なのでn個の変数で書くことができるのは良いのですが座標変数ではないのですか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 21:05:22};
- いえ，座標変数であっています．共変性の証明とおっしゃているのは，相対論でやるようなことでしょうか？運動を表せる一般化座標ならなんでもよい，という条件の下で，すべての一般化座標についてラグランジュの方程式を同じ \delta I=0 ということから導いたので，それらの式は \delta I=0という条件を通じて同値になりますから，共変性の確認は必要ないと思います． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 21:36:45};
- というより，共変性の確認という手間を省くためにこんな導入を考えてみました． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 21:37:42};
- はい、相対論でやるようなことを言っています。定義の中(ラグランジアンとか作用)が座標によっているのに結果が座標によらないと言えるのでしょうか？すいません、わかんなくて公開をおくらせちゃって(>_<) -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 21:43:38};
- もちろん佑弥さんは無視してもかまわないといった経路の話こそ幾何学的には座標にはよらない話なので結果は座標によらないだろうということはわかるのですが・・・(汗) -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 21:48:40};
- いえ、僕もとても勉強になるので、気になさらないでください。たしかにラグランジアンは座標系によって形は変わります。しかし、その積分として与えられる作用Ｉは、汎関数（つまり数値を表すから）ですから座標によりません。つまり、元の条件\delta I=0は座標系によらない式ですよね。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 22:10:03};
- 考えているすべてのラグランジュの運動方程式は、座標系によらない式\delta I=0を通じて同値なわけですから、運動を表せる一般化座標なら、すべて同じ運動を表すことになります。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 22:11:45};
- 確かに経路の関数になっていて汎関数だけどそれは一般化座標の関数でもあります。また変分も一般化座標を用いていますよね？そうすると言えないのではないかと思います。どうでしょうか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 22:33:37};
- 作用Iは運動の経路のみによって値が定まる汎関数のはずです．座標を変換しても，同じ曲線を表す限り作用Iの値は変化しません．作用Iは経路を変更することによって値が変化するのです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 22:42:40};
- 変分を一般化座標で表すのは，変分を具体的に表現するには経路の仮想変分を表現する必要があるからです．そのとき座標系を特に指定していないことが，座標系によらず成立することの根拠となるはずで，逆に座標を使わずに表現するなら，ただの抽象論で終わってしまいます． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 22:45:34};
- 具体的に考えてみてください．座標変換をしても，運動エネルギーやポテンシャルエネルギーは位置と時間を指定すれば同じ値を示すはずです．それならば，ラグランジアンも座標系とは無関係に位置と時間を指定したら，その値は定まりますよね。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 22:48:08};
- >変分を具体的に表現するには経路の仮想変分を表現する必要があるから これっていうのは経路CがC=C(q)だからですよね？qを用いて議論しているってことは座標による議論をしているということなので根拠にはなっていないと思います。微分形式を用いて座標によらない定義、議論をしないといけないような気がするのですが・・・。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:20:09};
- もちろん，数学的な厳密さを求めるのならば微分形式で考えるか，きちんと汎関数微分を定義する必要があると思います．しかし，初学者が解析力学を理解するのにそこまでしなければならないのでしょうか?物理的な内容を理解し，実際の力学の現象を思い浮かべながら，普通の力学よりも一歩踏み込んだ立場から考えることができればそれでよいと思うのです．（もちろん，さらにレベルアップを図るなら数学的な技能は必要に成ってきます．） -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:27:55};
- 座標によらない議論をしない限り座標変換の計算をして共変性を確認しないといけないのではないでしょうか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:31:20};
- 例えば，ラグランジアンがn次元配位空間の位置と時間を指定すれば座標系によらず同じ値を示すことは，数学的に厳密に示さなくても，物理的には明らかだと思うのです．それの経路を指定して，時間によって積分した作用Iは座標系によらないといっても良いのではないでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:31:32};
- もちろん変分原理のココロそのものは座標によらない議論だとはわかるのですが実際に変分して計算する時に座標による形で行っても共変性は示すことが出来ないと思うのですが、いかがでしょう？ -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:33:40};
- また，経路は座標の関数だと言われましたが，別の一般座標でも同様に表現できます．何度も述べたように特定の座標系を指定していないまま議論が成立していることがなによりの証拠です． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:33:59};
- 連続投稿のせいで順番が逆になってしまっていますね。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:34:32};
- そうですね．でも，僕たちがこの議論の内容が分かればそれでよいように思います． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:35:38};
- イメージ的には良いかもしれませんが確認することが目的ということでこのような質問をしました。続きます。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:37:00};
- qと書いているのは，便宜上文字が必要になるからです．一般座標の性質を満たすものならこのqはなんでも良いとして議論をしているのです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:37:11};
- それは座標系を指定していることになるのでしょうか？ -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:37:55};
- "一般座標"(ここではq)で計算してるので座標による形だと思うのですが。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:38:47};
- しかし，運動を表せるなら，デカルト座標でも，極座標でも，円柱座標でも何でもいいですよといって議論をしているのですよ? -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:40:03};
- でもある任意の"座標"を導入してることには間違いないと思います。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:41:12};
- その任意の座標が，何でも良いといっているのですから，これはあらゆる座標系で成り立つことになりませんか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:43:12};
- ちょっと整理してみたいと思います． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:46:22};
- 座標を導入していることには間違いありません．そうしなければ，座標系についての議論ができないからです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:47:08};
- はい :) 僕も今整理中なので(汗)素直には受け入れられるんですが気になってしまって・・・すいませんm(_ _)m -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:47:59};
- しかし，その導入する座標に運動を表せるなら何でもいいですよ，という一般性（もしくは自由度）を持たせることで，あらゆる座標系でラグランジュの運動方程式は同値になるということを記事で示したのです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:49:03};
- あとは，それらの色々な座標系の中の一つであるデカルト座標について成立することを認めることであらゆる座標系について成り立つとしたのです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:50:24};
- 確かに座標は導入していますが，それは何でも良いといっているのですから，これは特定の座標系でないと成り立たないというようなことは，ありえないはずです．というのが，僕の主張です． -- [[佑弥]] &new{2007-03-24 (土) 23:51:41};
- う〜ん・・・大体はOKなんですが・・・。ちょっと待ってくださいね。 -- [[nemo]] &new{2007-03-24 (土) 23:56:00};
- 今回の議論で変分を用いるとどの座標系でもラグランジュ方程式の形が出てくることはわかりました。またラグランジュ方程式はデカルト座標の時にはニュートンの運動方程式と同じになることもわかりました。はたしてそれだけで他の座標系でのラグランジュ方程式が同じ運動をあらわしていると言えるのでしょうか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-25 (日) 00:00:29};
- ところで，こういう形の証明って数学でも使いそうな気がするのですが，使わないのでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 00:00:42};
- う〜ん・・・私にはわからないですね(>_<)Johさんわたりは知っていそうですね！ -- [[nemo]] &new{2007-03-25 (日) 00:02:46};
- 方程式が同値なら解も同値になります．この場合，解は一般に座標の時間変化で与えることができるはずです．（人間にその方程式が解けるのかどうかは知りません．）これは，おんなじ運動に他ならないですよね． -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 00:02:57};
- 確かに，Johさんは詳しそうですね．一度意見を聞いてみたいですね． -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 00:03:48};
- コメントしていただくまでひとまず保留にしましょうか？私ももう少し考えてみます。 -- [[nemo]] &new{2007-03-25 (日) 00:06:00};
- 分かりました．僕も眠たいので，一応保留でお願いします．また朝がきてから議論しましょう． -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 00:07:29};
- 日曜日はネットから隔離されてしまう(家がネットにつながっていないため)ので月曜日以降になってしまうかもしれませんが(汗) -- [[nemo]] &new{2007-03-25 (日) 00:08:50};
- ご指名があったので出て来ました。質点の運動の前提となっているのは、位置（三次元）、速度（三次元）の合計六次元の位相空間（物理学の意味での）を考えれば一意的に運動が決まるということですよね。ハミルトン方程式なら、qとpで六個だし、ラグランジュなら、qとq'で六個です。なんにせよ、六次元位相空間で独立な基底を張るものを、qとか名づけているだけで、この段階で、これが〇〇座標だとか、そういうことを考える必要はありません。「位相空間で独立な基底を張る」という事実だけで十分で、ここに抽象化があります。しかし、ここで考えてる空間の、位相とか計量はどうなってるんでしょうね？普通にユークリッド計量なら、三つは直交座標の基底だと考えてもいいんだと思います。他に、何か変わったノルムを入れるような場合ってあるんでしょうか？むむ。 -- [[Joh]] &new{2007-03-25 (日) 01:21:41};
- Johさん、早速コメントありがとうございます。なるほど、そうなのですね。一応、n変数ということなので、n次元位相空間内の点の時間発展を考えるだけでよいかな、と思っていたのですが、2n次元位相空間を考える必要があるのですか。これは質問なのですが、ハミルトン力学でも変数はq,pですが、初期条件などを独立に取れるのはqもしくはpのどちらか一方ですよね?このときも2n次元の位相空間内の点として運動をとらえなくてはならないのでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 07:32:41};
- ちなみに、特別なノルムというのは、どういう場合を言うのですか?一般化座標は多分必ずしも直交するとは限らないと思いますよ。その証拠に、一般化座標で運動エネルギーを表したときに、一般にqと\dot{q}の２次形式であらわします。とこういう場合のことでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 07:44:52};
- 最初の質問を取り消します．独立な基底としては，q,pのどちらか一方を取って，それを2n次元の相空間で考えることで，直接時間発展を考えなくても，運動を表せるとおっしゃっていたのですね．よく理解できました．ありがとうございます．位相については，僕がまったく分からないので，コメントできなくて残念です．ごめんなさい． -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 10:30:57};
- 特別なノルムとか言ってるのは、リーマン幾何の空間をちょっと考えたのでした。でも、どんな場合がありうるのか、よく分かりません。一般化座標は、直交する必要はない（例えば斜交座標とか？）と思いますが、そのような例を扱ったことはないのです。最初のコメントでは、pとqの両方を基底に2n空間というつもりでした。というのは、運動は、位置と運動量の片方だけからでは決まらないですよね。 -- [[Joh]] &new{2007-03-25 (日) 15:45:54};
- 僕も直交系でない座標系を具体的に扱ったことはないです．理論的には問題ないはずですけど，特にそれが便利という問題に出会ったことがないんですよね。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-25 (日) 19:32:25};
- nemoさんに，初めのほうで曲線の話は無視してくださいといってしまいましたが，やはりそれが一番大事だったのですね．相空間内の曲線によって運動が決まる，という一番大事なことから目が離れてしまって，むしろ分かりにくい説明になっていた気がします．申し訳ないです．物体の運動が相空間内の曲線で決まることは，解析力学でラグランジュ形式がどうなっているとか議論する前の大切な前提なのでしたね． -- [[佑弥]] &new{2007-03-26 (月) 20:15:26};
- そうですね。運動を決めるのに、何と何が必要で、何と何が独立なのか、（それを一般化・抽象化して、幾つの独立なパラメーターがあれば運動を決められるのか）という話が、基礎としてきっちりあると、その後の見通しは非常に良いと思います。 -- [[Joh]] &new{2007-03-26 (月) 23:57:29};
- そうですね．相空間上の曲線で運動を表せるというのは，記事にできたら面白そうですね．一つ不思議なのですが，ラグランジュの運動方程式を導くとき経路の変分をとりますが，そのとき独立な変分は\delta qのみでいいですよね．でも，ハミルトンの正準方程式を変分原理から導くときは \delta q と \delta p が独立になるように変分をとりますよね．この違いはどこから来るのでしょう? -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 09:47:45};
- 遅くなりました。書き込んだつもりが反映されてなかったみたいです。私の疑問は少し保留にさせてください。 佑弥さんの疑問ですが私なりの意見を。普通ラグランジュ方程式はn個の座標qに対する2階微分方程式になっていて、初期値に対する解として１本の曲線が決定されると思います。だけれども、初期条件によって同じ点から何本もの解の曲線がひけたり、交差したりすることがあると思います。これではよろしくないので、qと\dot{q}を独立だと思って2n個の1階微分方程式に書き直すことによって、条件はありますが一意に解けて解の曲線は初期値を与えられると1本だけ決まって、また交わることもなく幾何学的には大変良く扱えます。そんなところからきているのだと思います。一応、後で調べてみます。 -- [[nemo]] &new{2007-03-27 (火) 20:42:11};
- 確かに，正しいことは分かるのですが，何でかなって気になるんですよね。でも，少し分かった気がします．ありがとうございます． -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 21:20:41};
- この疑問は，ハミルトンの正準方程式を導く記事を書くまでに，解決して記事の中に盛り込んでいきたいと思います． -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 21:21:48};
- nemoさんの疑問に今僕ができる説明をしておきます．作用は運動の経路の汎関数です．このとき経路を相空間内の曲線として考えます．運動はあくまでもこの曲線によって決まります．（ここまでは，座標がどうこうは考えていません．また，このことは純粋な運動の解析で力学以前の話です．）問題はこの曲線をどう表すかですが，ここで座標を導入します．でも，この曲線はほかの座標系であらわしたからって変わるものではないですよね。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 21:53:38};
- 曲線を表した時点で座標系を導入したことになるのかが気になるかもしれないですが、僕は導入した事にはならないと思います。座標を導入するのではなく相空間がどのようなものかを考えるだけです。例えば、3次元ユークリッド空間を考えるといっても、空間を導入しただけで、まだデカルト座標や極座標など座標系を導入して考えているのではないですよね。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 22:08:45};
- 佑弥 さんの混乱は、多分、qを微分すればq'が出ることから、qとq'を独立とは考えていなかったことによるのではないかと思います。q=q(t)の関数形が与えられていれば、qを微分すればq'が出るわけですが、一般にqは内在的に時間の関数というわけではありません。「qとpを独立にきめる」「qとq'を独立に決める」「q=q(t)の関数形とqを決める」というのは、どれも相空間の位置を特定する変数の選び方として、等価なものです。 -- [[Joh]] &new{2007-03-27 (火) 22:45:10};
- Johさんに言われたとおりだと思います。実は、僕も、自分の混乱はqとｑ’を独立に考えていないことによるのかなと思ったのです。でも、そうすると変分原理からラグランジュの方程式を導くときにδq'＝（d/dt）δｑという関係式を使うので、本当に独立なのか？と疑問が生じてしまって、今は其処の疑問を何とか解決したいのです。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 23:11:15};
- ちょっと，Johさんの説明で，記号の意味が良く分からない箇所があるので，確認しても良いですか?ｑ(t)と書いているのは一般座標の関数の形で，ただのqなどはある時刻の一般座標の値でよいですか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-27 (火) 23:41:09};
- こう考えてみてはどうでしょうか？q'のかわりにξと書くことにするとL=L(q,ξ)となりますよね？それでラグランジュ方程式を考えて解を求めるとξがq'と一致していただけというのはどうでしょうか？逆に混乱してしまうかな？(>_<) -- [[nemo]] &new{2007-03-27 (火) 23:42:54};
- きっと謎のことを書いていると思われてしまうと思うので↑はスルーしてください。m(_ _)m -- [[nemo]] &new{2007-03-27 (火) 23:44:11};
- いえ、そんなことないです。そのことについて少し考えてみたのですが、それでは、高階微分を含むラグランジアンの運動方程式をオストラグラドスキーの方法で求めるときと同様にξ-q'=0という拘束条件をつけないと、運動方程式そのものを求められないと思うのですが。。。（qとξが独立なら運動方程式を求めるときに部分積分が出来ることが不思議でならないのです。） -- [[佑弥]] &new{2007-03-28 (水) 08:05:09};
- もちろん、部分積分が出来ることは納得できます。ラグランジュの運動方程式を導くときは(q,t)で表せる相空間内の曲線で考えているからです。その曲線をずらせばδq'=(d/dt)δqが成立するのは当然です。では、qに影響を与えないようにq'を（仮想的）にずらすことは可能なのでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-28 (水) 08:27:42};
- 今のところ僕が考えているのは、ハミルトンの正準方程式を導くときは(q,t)で表せる相空間内の曲線ではなくて、(q,p,t)で表せる相空間内の曲線で考えているため、δqとδpが独立になるのかな、という考えがあっているのかどうかについて調べています。 -- [[佑弥]] &new{2007-03-28 (水) 08:34:09};
- 考えがまとまってきたので，合っているのかどうかを質問させてください．ラグランジュの運動方程式を求めるときは，実は(q,q',t)の相空間で考えてはいるのですが，運動方程式は実際の運動を表現するものですから，δqとδq'の間に実際の運動で成立するはずの条件をつけないといけない，と考えたのですが，どうでしょうか? -- [[佑弥]] &new{2007-03-28 (水) 09:28:05};
- 今度大学の先生にお会いする機会があるので，今度このあたりのことを聞いてみたいと思います．また分かったら，記事にして解説を書いていきたいです． -- [[佑弥]] &new{2007-03-28 (水) 23:49:11};
- すいません。知識不足で申し訳ないのですがオストラグラドスキーの方法というのは何でしょうか？ -- [[nemo]] &new{2007-03-29 (木) 00:31:55};
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