確認！ †
メッセージ †
執筆お疲れさまでした 
いやはや、すごいですね♪
質問です。
よくわかっていないだけかもしれませんが
どうしてこれで任意の座標系でも成り立つことが
いえるんでしたっけ？
デカルト座標の時に成り立つことはわかりました。
以下は感想です。
もう少し途中式があってもいいかなぁと
思いました。これは僕の感想ですので
佑弥さんにおまかせします
返答 †
前半部分
- ご指名があったので出て来ました。質点の運動の前提となっているのは、位置（三次元）、速度（三次元）の合計六次元の位相空間（物理学の意味での）を考えれば一意的に運動が決まるということですよね。ハミルトン方程式なら、qとpで六個だし、ラグランジュなら、qとq'で六個です。なんにせよ、六次元位相空間で独立な基底を張るものを、qとか名づけているだけで、この段階で、これが〇〇座標だとか、そういうことを考える必要はありません。「位相空間で独立な基底を張る」という事実だけで十分で、ここに抽象化があります。しかし、ここで考えてる空間の、位相とか計量はどうなってるんでしょうね？普通にユークリッド計量なら、三つは直交座標の基底だと考えてもいいんだと思います。他に、何か変わったノルムを入れるような場合ってあるんでしょうか？むむ。 -- Joh
- Johさん、早速コメントありがとうございます。なるほど、そうなのですね。一応、n変数ということなので、n次元位相空間内の点の時間発展を考えるだけでよいかな、と思っていたのですが、2n次元位相空間を考える必要があるのですか。これは質問なのですが、ハミルトン力学でも変数はq,pですが、初期条件などを独立に取れるのはqもしくはpのどちらか一方ですよね?このときも2n次元の位相空間内の点として運動をとらえなくてはならないのでしょうか? -- 佑弥
- ちなみに、特別なノルムというのは、どういう場合を言うのですか?一般化座標は多分必ずしも直交するとは限らないと思いますよ。その証拠に、一般化座標で運動エネルギーを表したときに、一般にqと\dot{q}の２次形式であらわします。とこういう場合のことでしょうか? -- 佑弥
- 最初の質問を取り消します．独立な基底としては，q,pのどちらか一方を取って，それを2n次元の相空間で考えることで，直接時間発展を考えなくても，運動を表せるとおっしゃっていたのですね．よく理解できました．ありがとうございます．位相については，僕がまったく分からないので，コメントできなくて残念です．ごめんなさい． -- 佑弥
- 特別なノルムとか言ってるのは、リーマン幾何の空間をちょっと考えたのでした。でも、どんな場合がありうるのか、よく分かりません。一般化座標は、直交する必要はない（例えば斜交座標とか？）と思いますが、そのような例を扱ったことはないのです。最初のコメントでは、pとqの両方を基底に2n空間というつもりでした。というのは、運動は、位置と運動量の片方だけからでは決まらないですよね。 -- Joh
- 僕も直交系でない座標系を具体的に扱ったことはないです．理論的には問題ないはずですけど，特にそれが便利という問題に出会ったことがないんですよね。 -- 佑弥
- nemoさんに，初めのほうで曲線の話は無視してくださいといってしまいましたが，やはりそれが一番大事だったのですね．相空間内の曲線によって運動が決まる，という一番大事なことから目が離れてしまって，むしろ分かりにくい説明になっていた気がします．申し訳ないです．物体の運動が相空間内の曲線で決まることは，解析力学でラグランジュ形式がどうなっているとか議論する前の大切な前提なのでしたね． -- 佑弥
- そうですね。運動を決めるのに、何と何が必要で、何と何が独立なのか、（それを一般化・抽象化して、幾つの独立なパラメーターがあれば運動を決められるのか）という話が、基礎としてきっちりあると、その後の見通しは非常に良いと思います。 -- Joh
- そうですね．相空間上の曲線で運動を表せるというのは，記事にできたら面白そうですね．一つ不思議なのですが，ラグランジュの運動方程式を導くとき経路の変分をとりますが，そのとき独立な変分は\delta qのみでいいですよね．でも，ハミルトンの正準方程式を変分原理から導くときは \delta q と \delta p が独立になるように変分をとりますよね．この違いはどこから来るのでしょう? -- 佑弥
- 遅くなりました。書き込んだつもりが反映されてなかったみたいです。私の疑問は少し保留にさせてください。 佑弥さんの疑問ですが私なりの意見を。普通ラグランジュ方程式はn個の座標qに対する2階微分方程式になっていて、初期値に対する解として１本の曲線が決定されると思います。だけれども、初期条件によって同じ点から何本もの解の曲線がひけたり、交差したりすることがあると思います。これではよろしくないので、qと\dot{q}を独立だと思って2n個の1階微分方程式に書き直すことによって、条件はありますが一意に解けて解の曲線は初期値を与えられると1本だけ決まって、また交わることもなく幾何学的には大変良く扱えます。そんなところからきているのだと思います。一応、後で調べてみます。 -- nemo
- 確かに，正しいことは分かるのですが，何でかなって気になるんですよね。でも，少し分かった気がします．ありがとうございます． -- 佑弥
- この疑問は，ハミルトンの正準方程式を導く記事を書くまでに，解決して記事の中に盛り込んでいきたいと思います． -- 佑弥
- nemoさんの疑問に今僕ができる説明をしておきます．作用は運動の経路の汎関数です．このとき経路を相空間内の曲線として考えます．運動はあくまでもこの曲線によって決まります．（ここまでは，座標がどうこうは考えていません．また，このことは純粋な運動の解析で力学以前の話です．）問題はこの曲線をどう表すかですが，ここで座標を導入します．でも，この曲線はほかの座標系であらわしたからって変わるものではないですよね。 -- 佑弥
- 曲線を表した時点で座標系を導入したことになるのかが気になるかもしれないですが、僕は導入した事にはならないと思います。座標を導入するのではなく相空間がどのようなものかを考えるだけです。例えば、3次元ユークリッド空間を考えるといっても、空間を導入しただけで、まだデカルト座標や極座標など座標系を導入して考えているのではないですよね。 -- 佑弥
- 佑弥 さんの混乱は、多分、qを微分すればq'が出ることから、qとq'を独立とは考えていなかったことによるのではないかと思います。q=q(t)の関数形が与えられていれば、qを微分すればq'が出るわけですが、一般にqは内在的に時間の関数というわけではありません。「qとpを独立にきめる」「qとq'を独立に決める」「q=q(t)の関数形とqを決める」というのは、どれも相空間の位置を特定する変数の選び方として、等価なものです。 -- Joh
- Johさんに言われたとおりだと思います。実は、僕も、自分の混乱はqとｑ’を独立に考えていないことによるのかなと思ったのです。でも、そうすると変分原理からラグランジュの方程式を導くときにδq'＝（d/dt）δｑという関係式を使うので、本当に独立なのか？と疑問が生じてしまって、今は其処の疑問を何とか解決したいのです。 -- 佑弥
- ちょっと，Johさんの説明で，記号の意味が良く分からない箇所があるので，確認しても良いですか?ｑ(t)と書いているのは一般座標の関数の形で，ただのqなどはある時刻の一般座標の値でよいですか? -- 佑弥
- こう考えてみてはどうでしょうか？q'のかわりにξと書くことにするとL=L(q,ξ)となりますよね？それでラグランジュ方程式を考えて解を求めるとξがq'と一致していただけというのはどうでしょうか？逆に混乱してしまうかな？(>_<) -- nemo
- きっと謎のことを書いていると思われてしまうと思うので↑はスルーしてください。m(_ _)m -- nemo
- いえ、そんなことないです。そのことについて少し考えてみたのですが、それでは、高階微分を含むラグランジアンの運動方程式をオストラグラドスキーの方法で求めるときと同様にξ-q'=0という拘束条件をつけないと、運動方程式そのものを求められないと思うのですが。。。（qとξが独立なら運動方程式を求めるときに部分積分が出来ることが不思議でならないのです。） -- 佑弥
- もちろん、部分積分が出来ることは納得できます。ラグランジュの運動方程式を導くときは(q,t)で表せる相空間内の曲線で考えているからです。その曲線をずらせばδq'=(d/dt)δqが成立するのは当然です。では、qに影響を与えないようにq'を（仮想的）にずらすことは可能なのでしょうか? -- 佑弥
- 今のところ僕が考えているのは、ハミルトンの正準方程式を導くときは(q,t)で表せる相空間内の曲線ではなくて、(q,p,t)で表せる相空間内の曲線で考えているため、δqとδpが独立になるのかな、という考えがあっているのかどうかについて調べています。 -- 佑弥
- 考えがまとまってきたので，合っているのかどうかを質問させてください．ラグランジュの運動方程式を求めるときは，実は(q,q',t)の相空間で考えてはいるのですが，運動方程式は実際の運動を表現するものですから，δqとδq'の間に実際の運動で成立するはずの条件をつけないといけない，と考えたのですが，どうでしょうか? -- 佑弥
- 今度大学の先生にお会いする機会があるので，今度このあたりのことを聞いてみたいと思います．また分かったら，記事にして解説を書いていきたいです． -- 佑弥
- すいません。知識不足で申し訳ないのですがオストラグラドスキーの方法というのは何でしょうか？ -- nemo
- ラグランジュ方程式はあくまでqに対する2階微分方程式なのでOKなのではないでしょうか？"実は(q,q',t)の相空間で考えてはいるのですが，運動方程式は実際の運動を表現するものですから，δqとδq'の間に実際の運動で成立するはずの条件をつけないといけない"の意味がよくわからないので詳しく説明していただけますか？ -- nemo
- おそらくラグランジアンで考えているのかそれを積分した作用で考えているのかでことなるということですねぇ・・・。作用は曲線に沿って積分して与えられるもので\dot{q}は与えられたqに対して決まるということは作用をqのみの関数として扱えることができて変分の話はOKとなりますねぇ。一方ラグランジアン単体ではqと\dot{q}を独立とみなしてもよくて運動方程式を解くと\dot{q}はqの時間微分だったという話になるということでしょうねぇ。 -- nemo
- オストラグラドスキーの方法とは、例えばq''を含むラグランジアンについてs=q'とでもおいて、見かけ上高階微分を消して、拘束条件s-q'=0をラグランジュの未定乗数法で課すことで運動方程式を求める方法のことです。（変分原理による方法と結果はもちろん一致します。） -- 佑弥
- 結局僕の言ったことを突き詰めていくと、qとq'が本当に独立というわけではないのではないか、ということになってしまうと思います。結局変分を独立にとろうとしても、on-shellの理論を作りたいわけだから、変数間に成り立つ物理的な関係は成立すると言うことではないかと思います。（） -- 佑弥
- ハミルトンの理論ではqとpは確かに互いに独立ですが、ラグランジュの理論でqとq'を独立と見なさなくては矛盾が生じるという経験がないのです。ラグランジュの立場でもqとq'が独立でないと、何か矛盾が生じる分かりやすい例があるでしょうか? -- 佑弥
- 三次元で考えるとして、一般にある時刻において質点が(x,y,z) という場所にあるという情報だけでは、この質点が、どの向きに速度を持っているかは決められないのではないですか？ -- Joh
- はい、その通りです。でも、座標を時間の関数で表せば、運動は決まりますよね。ラグランジュの立場ではqとq'を従属関係にする代わりに(q,t)空間を考えていると僕は思ったのですが、どう思われますか? -- 佑弥
- ちなみに一方でハミルトンの立場では(q,p)空間で考えているからこそ、qとpを独立に取れるのではないか、と考えています。 -- 佑弥
- 座標を時間の関数で考える、ということが、既に位置と運動量の独立性に対する縛りになっているんですよ。１９個前のコメントに書いたことですが。 -- Joh
- はい、3通りの考えがすべて同じということですよね。そのコメントを元にいろいろ調べてみて、僕が考えて出た結論が、ラグランジュの運動方程式を導くときは座標を時間の関数で考えて、ハミルトンの運動方程式を導くときは(q、p)空間で考えている、ということでした。今まで、このことを曖昧にしてしまっていたのですが、Johさんとnemoさんのおかげでこのことを明確に意識することが出来ました。 -- 佑弥
- 「qとq'の関係」や「pとqの関係」こそ、我々が運動方程式と呼んでる物そのものではないですか？何と何が独立だとか、独立じゃないとかいうのは、どういう運動方程式を作りたいかという、立場と目的の違いだと思います。 -- Joh
- そうですよね。ここが一番大事なのに見落としてしまっていた自分が恥ずかしいです。何で見落としたのかを自己分析してみたのですが、高校のときは運動を求めるときにすることといえば、座標を時間の関数で表すか、軌跡を求めることしか普通はしなくて、(q,p)の関係を考えることがメインになるってあまりないんですよね。だから、運動を求めるといえば座標を時間の関数で表すことしか頭になかったから、そのほかの立場が納得いかなかったのだと思います。 -- 佑弥
- 逆に言えば、ここをきちんと説明できれば、高校生にも解析力学のさまざまな立場が簡単に理解できるということだと思うので、ここで得たことを記事にしていきたいと思っています。 -- 佑弥
- そういえば僕の質問へのご説明へのレスがまだでしたね(汗) 佑弥さんが正しいことをおっしゃっていたのはわかりました。ラグランジアンがスカラー(値)関数であることを考えていなかったために起きた疑問でした。 佑弥さんはこの点については何回かおっしゃっていたのですが記事だけをみているとそこすら疑問に思って読んでしまっていました。すいませんm(_ _)m -- nemo
査読/ラグランジュの運動方程式を確認しよう!(佑弥著)/2 のバックアップ(No.21)
