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真性・外因性半導体(中級編)
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ホログラフィ技術
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初級編では、真性半導体、P形、N形半導体について、シリコンを例に説明してきました。中級編では、これらのバンド構造について説明します。
ホログラフィって何？
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この記事を読む前に、 `導体・絶縁体・半導体`_ を一読されることをお勧めします。
ホログラフィは何に使うの？
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.. _`導体・絶縁体・半導体`: http://www12.plala.or.jp/ksp/solid/differenceOfResistance/
ホログラフィの原理
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真性半導体
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真性半導体のバンド構造は、 `導体・絶縁体・半導体`_ で見たとおり、下の図のようなバンド構造です。
.. _`導体・絶縁体・半導体`: http://www12.plala.or.jp/ksp/solid/differenceOfResistance/
@@reference:久保田敏弘，ホログラフィ入門，朝倉書店，2004，1-92，4254200862@@
＜図（後で描きます）＞
@@author:黒子@@
@@accept:執筆中@@
@@category:波と振動@@
絶対零度（0 K)では、価電子帯や伝導帯にキャリアは全く存在せず、電界をかけても電流は流れません。
しかし、ある有限の温度（例えば300 K）では、熱からエネルギーを得た電子が価電子帯から伝導帯へ飛び移り、電子正孔対ができます。
このため、温度上昇とともに電子や正孔が増え、抵抗率が低くなります。
N形半導体
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ドナー
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14族であるシリコン（Si）に15族のリン（P）やヒ素（As）を不純物として添加し、Si原子に置き換わったとします。
このとき、15族の元素の周りには、結合に寄与しない価電子が1つ存在します。この電子は、共有結合に関与しないため、比較的小さな熱エネルギーを得て容易に自由電子となります。
一方、電子を1つ失った15族の原子は正にイオン化します。自由電子と違い、イオン化した原子は動くことが出来ません。この不純物原子のことをドナーといいます。
バンド構造
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このバンド構造を示すと、下の図のように、伝導帯からエネルギー $\Delta E $ だけ低いところにドナーが準位を作っていると考えられます。
＜図（後で描きます）＞
ドナー準位の電子は周囲からイオン化エネルギー $\Delta E $ を熱エネルギーとして得ることにより、導電帯に励起され、自由電子となります。
ドナーは不純物として半導体中に含まれているため、まばらに分布していることを示すために、通常図中のように破線で描きます。
多くの場合、ドナーとして添加される不純物の $\Delta E $ は比較的小さいため、室温付近の温度領域では熱エネルギーを得てほとんどのドナーがイオン化していると考えて問題はありません。
また、真性半導体の場合と同様、熱エネルギーを得て電子が価電子帯から伝導帯へ励起され、電子正孔対ができます。
このため、N形半導体にも、自由電子の数よりは何桁も少ないですが、正孔が存在します。
N形半導体中で、自由電子のことを多数キャリアと呼び、正孔のことを少数キャリアと呼びます。
半導体デバイスでは、多数キャリアだけでなく、少数キャリアも非常に重要な役割を果たします。
数は多数キャリアに比べてとっても少ないですが、少数キャリアも存在することを忘れないでください。
P形半導体
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アクセプタ
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14族のSiに13族のホウ素ｙ（B）やアルミニウム（Al）を不純物として添加し、Si原子に置き換わったとします。
このとき、13族の元素の周りには、共有結合を形成する原子が1つ不足し、他から電子を奪いやすい状態となります。
この電子が1つ不足した状態は正孔として振る舞い、他から電子を奪った13族の原子は負イオンとなります。
このような13族原子をアクセプタと呼び、イオン化アクセプタも動くことは出来ません。
バンド構造
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
このバンド構造を示すと、下の図のように、価電子帯からエネルギー $\Delta E $ だけ高いところにアクセプタが準位を作っていると考えられます。
＜図（後で描きます）＞
アクセプタは周囲からイオン化エネルギー $\Delta E $ を熱エネルギーとして得ることにより、イオン化アクセプタになり、価電子帯に正孔ができます。
ドナーの場合と同様、不純物として半導体中にまばらに分布していることを示すために、通常図中のように破線で描きます。
多くの場合、アクセプタとして添加される不純物の $\Delta E $ は比較的小さいため、室温付近の温度領域では熱エネルギーを得てほとんどのアクセプタがイオン化していると考えて問題はありません。
また、熱エネルギーを得て電子が価電子帯から伝導帯へ励起され、電子正孔対ができるため、P形半導体にも自由電子が存在します。
P形半導体中で、正孔のことを多数キャリアと呼び、自由電子のことを少数キャリアと呼びます。
ドナー･アクセプタ準位のおよその計算
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ドナーやアクセプタの $\Delta E $ を、ボーアの水素原子モデルを用いて比較的簡単に求めることができます。
ボーアの水素原子モデルによるエネルギーの値は、
<tex>
E_n=\frac{m_0 e^4}{8{\varepsilon _0}^2 h^2}\cdot \frac{1}{n^2} =13.6\cdot \frac{1}{n^2} \hspace{1cm} \textrm{eV}
</tex>
でしたよね。しかし、今この式を二箇所だけ改良する必要があります。
一つは、今電子やホールはシリコン雰囲気中をドナーやアクセプタを中心に回転していると考えているため、シリコンの誘電率を使わなければいけないということ。
それから、もう一つは半導体中では電子や正孔の見かけの質量が電子の真空中での静止質量と異なるため、この補正を行わなければならないということです。
因みに、この見かけの質量のことを有効質量といいます。
このことを考慮して、上のに式を次のように書き換えます。
<tex>
E_n=13.6\cdot \frac{1}{{\varepsilon _r}^2} \cdot \frac{m^* }{m_0} \cdot \frac{1}{n^2} \hspace{1cm} \textrm{eV}
</tex>
この式にシリコンの比誘電率 $\varepsilon _r=11.9$ と、シリコン中での電子の有効質量 $m^* =0.33 m_0 $ を代入し、最もエネルギー差が大きくなる $n=1$ の場合を計算すると、 $\Delta E= 0.032 \textrm{eV} $ となります。
実際にはシリコン中でP（ $0.045 \textrm{eV} $ ）、As（ $0.049 \textrm{eV} $ ）、P（ $0.039 \textrm{eV} $ ）となり、計算値とおよそ一致していることがわかります。
また、アクセプタの場合は、シリコン中での正孔の有効質量 $m^* =0.55 m_0 $ を用いて同じ計算を行うと、 $\Delta E= 0.053 \textrm{eV} $ となります。
実測値はというと、B（ $0.045 \textrm{eV} $ ）、Al（ $0.057 \textrm{eV} $ ）、Ga（ $0.065 \textrm{eV} $ ）、In（ $0.157 \textrm{eV} $ ）となり、こちらもおよそ一致していることがわかります。
@@author:篠原@@
@@accept:2005-12-28@@
@@reference: 松波弘之 吉本昌広, 半導体デバイス, 共立出版, 2000, 10-14, 4320085825@@
公開制作/ホログラフィ技術/ソース のバックアップ差分(No.3)
