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|Lienard-Wiechart| ポテンシャル
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.. |Lienard-Wiechart| unicode:: Li U+00E9 nard-Wiechart
ここでは |Lienard-Wiechart| ポテンシャルについて解説します。
加速度運動する点電荷が電磁波を放射することを理解するための第一歩です。
なお、このシリーズでは単位系として cgs 単位系を用います。ご容赦下さい。
|Lienard-Wiechart| は「りえなー・うぃーひぁると」と読みます(たぶん)。
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出発点
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.. figure:: co-lienard01.png
電荷 $q$ を持つ点電荷が軌道 $\bm{r} = \bm{r_0}(t)$ に沿って運動することを考えます。
このとき、電荷密度および電流密度は次のように書くことができます。
<tex>
\rho(\bm{r}, t) = q \delta \left(\bm{r}-\bm{r_0}\left(t\right)\right) \tag{#def(def-rho)}\\
\bm{j}(\bm{r}, t) = q \delta \bm{u}(t) \left(\bm{r}-\bm{r_0}\left(t\right)\right) \tag{#def(def-j)}
</tex>
ここで $\bm{u}(t) = \frac{d \bm{r_0}(t)}{dt}$ です。
電場、磁場をスカラーポテンシャル $\phi(\bm{r},t)$ とベクトルポテンシャル $\bm{A}(\bm{r}, t)$ を用いて表すことにします。
ゲージとしてローレンツゲージを選ぶと、次のようになります。
<tex>
\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = - 4 \pi \rho \tag{#def(maxwell-phi)}\\
\nabla^2 \bm{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \bm{A}}{\partial t^2} = - \frac{4\pi}{c} \bm{j_e} \tag{#def(maxwell-A)}
</tex>
式(#ref(maxwell-phi))、式(#ref(maxwell-A))の解は次のようになります。 [*]_
<tex>
\phi(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[ \rho \right] d^3\bm{r'}}{|\bm{r}-\bm{r'}|} \tag{#def(phi01)}\\
\bm{A}(\bm{r}, t) = \int \frac{\left[\bm{j}\right] d^3\bm{r'}}{|\bm{r}-\bm{r'}|} \tag{#def(A01)}
</tex>
ここで $[Q]$ は、 $Q$ を遅延時間を用いて計算せよという意味です。
遅延時間 $t_{\rm{ret}}$ は $t_{\rm{ret}} = t - \frac{1}{c} |\bm{r}-\bm{r'}|$ で定義されます。
光は有限の速さ $c$ で伝わるので、点 $\bm{r'}$ で起こったできごとを $\bm{r}$ 点の人が観測するのは $t = t_{\rm{ret}}$ だということを表しています。
.. [*] これを求めるのはなかなか大変です。とりあえずここでは (#ref(phi01))、(#ref(A01)) をそれぞれ (#ref(maxwell-phi))、(#ref(maxwell-A)) に代入して確認しておけば良いでしょう。
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ポテンシャルを計算する
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さて、では実際に (#ref(phi01))、(#ref(A01)) を計算していきましょう。
電荷密度 $[\rho]$ は次のように書くことができます。
<tex>
\left[ \rho \right] = \int dt' \rho( \bm{r'}, t) \delta \left( t' - t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}| \right)
</tex>
これを (#ref(phi01)) に代入し、(#ref(def-rho)) を用いると
<tex>
\phi(\bm{r},t) & = \int d^3\bm{r'}
\int dt' \frac{\rho(\bm{r'}, t')}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = \int d^3\bm{r'} \int dt'
\frac{q \delta \left(\bm{r}-\bm{r_0}\left(t\right)\right)}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& = q \int dt'
\frac{1}{|\bm{r}-\bm{r_0}(t)|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)
</tex>
となります。ここで $\bm{R}(t') \equiv \bm{r}-\bm{r_0}(t')$ 、 $R(t') \equiv |\bm{R}(t')|$ とすると、
<tex>
\phi(\bm{r},t) = q \int dt' R^{-1}(t') \delta \left( t' - t + \frac{R(t')}{c}\right) \tag{#def(phi02)}
</tex>
となります。ベクトルポテンシャルについても同様な計算をします。
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) & =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{\bm{j}(\bm{r'},t')}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
\int d^3\bm{r'} \int dt' \frac{q\bm{u}(t') \delta \left( \bm{r'}-\bm{r_0} \left(t'\right)\right)}{|\bm{r}-\bm{r'}|}
\delta \left(t'-t + \frac{1}{c}|\bm{r}-\bm{r'}|\right)\\
& =
q \int dt' \bm{u}(t') R^{-1}(t') \delta \left( t' - t + \frac{R(t')}{c}\right) \tag{#def(A02)}
</tex>
が得られます。ふぅ。
さて、計算を進めましょう。
まずは $\phi(\bm{r},t)$ について計算していきます。
まず $t'' = t' - t + \frac{R(t')}{c}$ とおきます。
すると、
<tex>
dt'' = dt' + \frac{1}{c}\dot{R}(t')dt' \tag{#def(dt''01)}
</tex>
となります。
ところで、 $R^2(t') = \bm{R}(t')\cdot\bm{R}(t')$ ですから両辺を $t'$ で微分すると $2 R(t') \dot{R(t')} = 2\dot{\bm{R}}(t')\cdot\bm{R}(t')$ です。 $\bm{R}(t') = \bm{r} - \bm{r_0}(t)$ ですから、 $\dot{\bm{R}}(t') = -\dot{\bm{r_0}}(t') = - \bm{u}(t')$ と書けます。したがって、
<tex>
R(t')\dot{R}(t') = -bm{u}(t')\cdot\bm{R}(t') \tag{#def(Ru_rel)}
R(t')\dot{R}(t') = -\bm{u}(t')\cdot\bm{R}(t') \tag{#def(Ru_rel)}
</tex>
となります。ここで単位ベクトル $\bm{n}$ を $\bm{n} = \frac{\bm{R}}{R}$ と定義します。すると、(#ref(Ru_rel)) より
<tex>
\dot{R}(t') = - \bm{u}(t')\cdot\bm{n}(t')
</tex>
となります。従って $dt''$ は (#ref(dt''01)) より
<tex>
dt'' = \left[1-\frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right]dt' \tag{#def(dt''02)}
</tex>
と書けます。
さて、(#ref(phi02)) を $t''$ を用いて書き換えると
<tex>
\phi(\bm{r}, t) =
q \int R^{-1}(t')
\left[1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t')\right]^{-1}
\delta (t'') dt'' \tag{#def(phi03)}
</tex>
となります。遅延時間を $t_{\rm{ret}} \equiv t - \frac{R(t')}{c}$ とすると $t'' = 0$ のとき、または $t' = t_{\rm{ret}}$ のとき (#ref(phi03)) は
<tex>
\phi( \bm{r}, t) = \frac{q}{\kappa (t_{\rm{ret}}) R(t_{\rm{ret}})} \tag{#def(phi04)}
</tex>
となります。ただしここで
<tex>
\kappa(t') = 1 - \frac{1}{c}\bm{n}(t')\cdot\bm{u}(t') \tag{#def(phi05)}
</tex>
としました。
ベクトルについてもポテンシャルも同様に計算して、
<tex>
\bm{A}(\bm{r},t) = \frac{q \bm{u}(t_{\rm{ret}}}{c\kappa(t_{\rm{ret}})R(t_{\rm{ret}})} \tag{#def(A05)}
</tex>
が得られます。遅延時間をとることを表すのに $[]$ を使うと、(#ref(phi05))、(#ref(A05))は次のように書けます。
<tex>
\phi & = \left[ \frac{q}{\kappa R} \right] \tag{#def(phi06)}\\
\bm{A} & = \left[ \frac{q \bm{u}}{c \kappa R}. \tag{#def(A06)}
</tex>
(#ref(phi06))、(#ref(A06)) を |Lienard-Wiechart| ポテンシャルと呼びます。
@@author: CO@@
@@accept: 執筆中@@
@@id: Lienard-Wiechart@@
@@category: 電磁気学@@
記事ソース/Lienard-Wiechertポテンシャル のバックアップ差分(No.26)
