#rst2hooktail_source ============================================================ 面と点の距離(非正則行列の逆行列) ============================================================ 正方行列でない行列の逆行列とは、どんなものか。 という疑問の答えの一つがこれです。 2つのベクトルの張る平面 =========================== 三次元空間内で、 原点を通る二本のベクトル $\bm{a}=(a_1,a_2,a_3)^t$ [*]_ と $\bm{b}=(b_1,b_2,b_3)^t$ で 張られる平面 $(x,y,z)^t=s\bm{a}+t\bm{b}$ と、点P $\bm{r}=(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)^t$ との距離 $X$ が最短距離を示す時の $s$ と $t$ の値を求めます。 つまり、 .. [*] 右上の $ t $ は、転置を表します。 <tex> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> が最も近づく時を考えます。 それには、距離 $X^2$ が最小値を取る時を考えればよいです。 つまりは、 $s,t$ の二次式なので、平方完成を行います。 実際に計算してみると、 <tex> X^2 &= (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2 \\ &= (a_1s+b_1t-x_0)^2+(a_2s+b_2t-y_0)^2+(a_3s+b_3t-z_0)^2 \\ &= (a_1^2+a_2^2+a_3^2)s^2+2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)st+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)t^2 \\ &- 2(a_1x_0+a_2y_0+a_3z_0)s- 2(b_1x_0+b_2y_0+b_3z_0)t+(x_0^2+y_0^2+z_0^2) \\ &= |\bm{a}|^2s^2+2\bm{a}\cdot\bm{b}st+|\bm{b}|^2t^2-2\bm{a}\cdot\bm{r}s-2\bm{b}\cdot\bm{r}t+|r|^2 \\ &\equiv \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -2 \varepsilon t + \zeta \tag{##} </tex> 最後の行で、ギリシャ文字 $\alpha,\beta, \cdot ,\zeta$ を定義しました。 順番に、アルファ、ベータ、ガンマ、デルタ、イプシロン、ゼータと読みます。 さらに計算を続けると、 <tex> X^2 &= \alpha s^2+ 2 \beta st + \gamma t^2 - 2 \delta s -2 \varepsilon t + \zeta \\ &= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2-\frac{(\beta t-\delta)^2}{\alpha}+\gamma t^2 - 2 \varepsilon t +\zeta \\ &= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\frac{\beta^2}{\alpha})t^2 +2(\frac{\beta \delta}{\alpha} -\varepsilon)t+\zeta -\frac{\delta^2}{\alpha} \\ &= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2+(\gamma -\frac{\beta^2}{\alpha}) (t+\dfrac{\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon}{\gamma-\dfrac{\beta^2}{\alpha}})^2 + \dfrac{(\dfrac{\beta \delta}{\alpha}-\varepsilon)^2}{\gamma - \dfrac{\beta^2}{\alpha}} \\ &= \alpha(s+\frac{\beta t -\delta}{\alpha})^2 + (t+\frac{\beta \delta - \varepsilon \alpha}{\alpha \gamma - \beta^2})^2 +\zeta \tag{##} </tex> @@author:クロメル@@ @@accept:2010-12-28@@ @@category:物理数学@@ @@id:variantInverseMatrix@@